Question

2. В треугольнике CDE биссектрисы CK и EN пересекаются в точке P, причём DP=6, ∠ = 60°. Найдите расстояние от точки P до стороны CE.

Answer 1

Ответ: 3 (ед. длины).

Объяснение:  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и расстояния от этой точки до сторон равны (свойство). ⇒

т.Р - точка пересечения биссектрис ∆ CDE, поэтому DP -  биссектриса угла D и делит угол СDE равный по условию 60°, на  ∠NDP=∠KDP=60°:2=30°

  Расстоянием от точки до прямой является длина проведенного перпендикулярно к ней отрезка.

Так как. т.Р принадлежит  биссектрисе каждого угла, расстояния от т.Р до каждой стороны треугольника одинаковы.  Перпендикуляры РН =PM =РТ=r.

∆ DMP - прямоугольный, ∠NDP=30°, катет РМ противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы DР( свойство) =>  

РН=РМ=6:2=3 (ед. длины)

Answer 2

Давайте обозначим угол CDE как α и длину стороны CE как x.

Известно, что угол CPD равен 60°, а сторона DP равна 6.

Так как биссектрисы пересекаются в точке P, то отрезок PE также равен 6.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник CEP. Мы знаем две стороны (CE и EP) и угол между ними (угол CPD, который равен 60°). Мы можем воспользоваться законом косинусов для нахождения третьей стороны треугольника CEP, которая равна CP:

CP² = CE² + EP² - 2 * CE * EP * cos(60°)

Теперь подставим известные значения:

CP² = x² + 6² - 2 * x * 6 * cos(60°)

CP² = x² + 36 - 12x * 0.5

CP² = x² + 36 - 6x

Теперь, чтобы найти CP, возьмем квадратный корень из обеих сторон:

CP = √(x² + 36 - 6x)

Теперь расстояние от точки P до стороны CE равно высоте треугольника CEP, опущенной из вершины P. Чтобы найти высоту, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь CEP = 0.5 * CP * EP

Площадь CEP = 0.5 * √(x² + 36 - 6x) * 6

Также известно, что площадь треугольника CEP можно выразить через стороны CE и EP:

Площадь CEP = 0.5 * CE * EP * sin(60°)

Таким образом, мы можем выразить высоту h как:

0.5 * CE * 6 * sin(60°) = 0.5 * √(x² + 36 - 6x) * 6

CE * sin(60°) = √(x² + 36 - 6x)

CE * (√3 / 2) = √(x² + 36 - 6x)

Теперь выразим CE через x:

CE = (2 / √3) * √(x² + 36 - 6x)

И это есть искомое расстояние от точки P до стороны CE в треугольнике CDE.