Question

В основание конуса вписан прямоугольный треугольник с катетом 6 см и противолежащим ему углом 30°, а образующая конуса образует с плоскостью основания угол 45°. Чему равен объём конуса?

Answer 1

Нужно сначала найти радиус основания конуса.

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Значит радиус основания конуса, как описанной окружности, равен половине гипотенузы вписанного треугольника.

Пусть это ∆ АВС∠С=90º∠А=30º

АС=2а

ГипотенузаАВ=АС:cos 30º=4a÷√3

R=АО=ВО=ОС=2a÷√3

Катет - ВС=2a÷√3 как противолежащий углу 30º

Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами. Проведенными к точке О и М из точки К катета АС (МК - наклонная, ОК - ее проекция, МК и ОК перпендикулярны АС по т. о трех перпендикулярах). К - середина основания АС равнобедренного ∆ АОС

Так как угол ОКА=90º, ОК|| ВС и является средней линией ∆ АВС и равна половине ВС.

ОК=ВС:2=а/√3

Высота пирамиды МО перпендикулярна плоскости основания, угол МКО=45º по условию, и ∆ МОК - равнобедренный. МО=ОК=а÷√3

S осн. конуса=πR²=4π•a²÷3

V=[(4π•а²÷3)•a÷√3]:3=4π•a³÷√3 (ед. объема)

(изображение взято из других работ)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые геометрические соотношения. Обозначим основание конуса как прямоугольный треугольник ABC, где AB = BC = 6 см. Угол BAC равен 30°.

Первым шагом найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, используя тригонометрический соотношение синуса: AC = AB/sin(BAC) = 6 см / sin(30°) = 12 см.

Теперь рассмотрим высоту конуса. Образующая конуса образует с плоскостью основания угол 45°. Это означает, что высота конуса является одной из прямых ног его прямого треугольника, а угол между этой высотой и образующей равен 45°. Таким образом, получаем, что высота конуса равна AC.

Теперь мы можем рассчитать объем конуса с использованием формулы: V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π - число пи (примерно 3.14159), r - радиус основания конуса и h - высота конуса.

Радиус основания конуса равен половине длины его основания, то есть r = AB/2 = 6 см / 2 = 3 см.

Подставляя известные значения в формулу, получим: V = (1/3) * 3.14159 * (3 см)^2 * 12 см.

Выполняя вычисления, получаем: V = (1/3) * 3.14159 * 9 см^2 * 12 см, V = 3.14159 * 3 см^2 * 4 см, V ≈ 37.699 см^3.

Таким образом, объем конуса составляет примерно 37.699 кубических сантиметров.