Question

В равнобедренном треугольнике ABC угол ABC равен 120° . Высота BK , проведённая к основанию, равна 30. Найдите боковую сторону AB.​

Answer 1

Ответ:

$60$ ед.

Объяснение:

Высота , проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и медианой.

⇒ $BK$ - высота, медиана, биссектриса.

$\angle ABK = \angle CBK = \dfrac{\angle ABC}{2} = \dfrac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$, так как $BK$ - биссектриса.

$\triangle ABK$ - прямоугольный, так как $BK$ - высота.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $180^{\circ}$.

⇒ $\angle BAK = 90^{\circ} - \angle ABK = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Если угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ $AB = 2 \cdot BK = 2 \cdot 30 = 60$ ед.

А так как $\triangle ABC$ -  равнобедренный ⇒ $AB = BC = 60$ ед.

Answer 2

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC угол ABC равен 120°, и высота BK проведена к основанию AC и равна 30. Требуется найти боковую сторону AB.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то у него боковые стороны AB и AC равны. Обозначим боковую сторону AB (или AC) как a.

Также, так как BK является высотой, она перпендикулярна к основанию AC. Это означает, что треугольник ABK — прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике ABK мы знаем один катет (BK = 30) и угол BAK (половина угла ABC), который равен 60°.

Используем тригонометрический закон синусов:

sin(60°) = BK / AB

Решим уравнение относительно AB:

AB = BK / sin(60°) AB = 30 / √3 AB = 10√3

Итак, боковая сторона AB равна 10√3 (приближенно 17.32).