Question

Координаты вершин треугольника ABC: A (3; 4), B (5; 8), C (9; 6). Для треугольника ABC: а) определить тип треугольника ABC; б) если известно, что VC является медианой, то найти координаты точки K; в) Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Координаты вершин треугольника ABC:  А(5; 8); В (3; 4), C (9; 6). Для треугольника ABC:

а) определить тип треугольника ABC.

Находим длины сторон.

АВ = √(4 + 16) = √20 = 2√5.

ВС = √(16 + 4) = √20 = 2√5.

АС = √(36 + 4) = √40 = 2√10.   Треугольник равнобедренный.

б) если известно, что КC является медианой, то найти координаты точки K.

Точка К - это середина стороны АВ: А(5; 8); В (3; 4) .

К((5+3)/2=4; (8+4)/2=6) = (4; 6).

в) Найдите площадь треугольника ABC.

Применим формулу Герона. Но так как длины сторон содержат корни,то примем округлённые значения.

АВ (c) = 4,4721, ВС(a)  = 4,4721, АС (b) = 6,3246.

Полупериметр р = 7,6344.

Получаем S = 10.

Answer 2

Давайте поочередно решим каждую из задач.

а) Чтобы определить тип треугольника ABC по его сторонам, нам нужно рассмотреть длины сторон и сравнить их между собой.

Для этого вычислим длины сторон AB, BC и AC:

AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((5 - 3)^2 + (8 - 4)^2) = √(2^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((9 - 5)^2 + (6 - 8)^2) = √(4^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((9 - 3)^2 + (6 - 4)^2) = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

Поскольку все три стороны имеют одинаковую длину 2√5, это треугольник равносторонний.

б) Если VC является медианой, то точка K - это середина стороны AB. Для нахождения координат точки K, мы можем взять средние значения координат точек A и B:

x_K = (x_A + x_B) / 2 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

y_K = (y_A + y_B) / 2 = (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6

Точка K имеет координаты (4, 6).

в) Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона, которая зависит от длин его сторон:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

где p - полупериметр треугольника, вычисляется как p = (AB + BC + AC) / 2.

AB = BC = AC = 2√5 (как мы выяснили выше)

p = (2√5 + 2√5 + 2√10) / 2 = (4√5 + 2√10) / 2 = 2√5 + √10

Теперь можем подставить значения в формулу:

S = √((2√5 + √10) * (√5 + √10) * (√5 + √10) * (√5 + √10))

S = √((2√5 + √10)^2 * (2√5))

S = (2√5 + √10) * √(2√5)

S = (2√5 + √10) * 2√(2√5)

S = 4√(10) + 2√(20)

S = 4√10 + 4√5

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет 4√10 + 4√5.