Question

Плоскость альфа и бета перпендикулярны. Прямая альфа - линия их пересечения. В плоскости альфа взято точку A, а в плоскости бета - точку B такие, что расстояния от них до прямой альфа равны 4 см и 5 см соответственно. Найдите расстояние между точками A и B, если расстояние между их проекциями на прямую альфа равен 2 * sqrt2 см

Answer 1

Решение:

1) α ⊥ β, AC ⊥ a, BD ⊥ a;

2) Р-м прямоугольный Δ BDC:

за т. Пифагора, гипотенуза BC равна:

    $BC= \sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{5^2+(2\sqrt{2})^2 } = \sqrt{25+8}=\sqrt{33} \:\: (cm)$

3)AC ∈ α, BC ∈ β, α ⊥ β  ⇒  AC ⊥ BC  ⇒  Δ ABC — прямой  ⇒

⇒  за т. Пифагора, гипотенуза AB равна:

    $AB = \sqrt{AC^2+BC^2}= \sqrt{4^2+(\sqrt{33})^2}=\sqrt{16+33}=\sqrt{49}=7 \:\: (cm)$

Ответ: Расстояние между точками A и B равно 7 см.

Answer 2

Давайте обозначим плоскость альфа как P_alpha, плоскость бета как P_beta, прямую альфа как l_alpha, точку A как A, точку B как B. Также пусть M будет проекцией точки B на прямую альфа.

Из условия известно, что расстояние от точки A до прямой l_alpha равно 4 см, а от точки B до той же прямой равно 5 см. Пусть H_A и H_B будут перпендикулярными опущенными из точек A и B на прямую l_alpha соответственно.

Также известно, что расстояние между проекциями точек A и B на прямую l_alpha равно 2 * sqrt(2) см. Обозначим эту величину как d.

Мы имеем следующие равенства:

1. AH_A = 4 см
2. BH_B = 5 см
3. AM + MB = d = 2 * sqrt(2) см (где AM - расстояние от A до M, а MB - расстояние от M до B)

Известно также, что прямая AMB перпендикулярна прямой l_alpha, так как AMB - это линия пересечения двух перпендикулярных плоскостей P_alpha и P_beta.

Теперь давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников AH_AM и BH_BM:

1. AH_A^2 + AM^2 = (AH_A)^2
2. BH_B^2 + BM^2 = (BH_B)^2

Суммируем оба уравнения: AH_A^2 + AM^2 + BH_B^2 + BM^2 = (AH_A)^2 + (BH_B)^2

Так как AM + MB = d, то AM^2 + MB^2 + 2 * AM * MB = d^2. Подставим это в уравнение: AH_A^2 + BH_B^2 + d^2 + 2 * AM * MB = (AH_A)^2 + (BH_B)^2

Теперь выразим AM * MB: 2 * AM * MB = d^2 + (AH_A)^2 - (BH_B)^2

Теперь мы знаем выражение для произведения AM * MB. Давайте воспользуемся этим в выражении для площади прямоугольного треугольника AMB: Площадь(AMB) = (1/2) * AM * MB

Подставим выражение для AM * MB: Площадь(AMB) = (1/2) * ((d^2 + (AH_A)^2 - (BH_B)^2) / 2)

Так как площадь прямоугольного треугольника AMB также можно выразить через его катеты (AH_A и BH_B) и гипотенузу (AB): Площадь(AMB) = (1/2) * AH_A * BH_B

Таким образом, мы получаем уравнение: (1/2) * ((d^2 + (AH_A)^2 - (BH_B)^2) / 2) = (1/2) * AH_A * BH_B

Сокращаем на (1/2): (d^2 + (AH_A)^2 - (BH_B)^2) / 2 = AH_A * BH_B

Теперь мы можем подставить известные значения AH_A и BH_B: (d^2 + 4^2 - 5^2) / 2 = 4 * 5

(d^2 + 16 - 25) / 2 = 20

(d^2 - 9) / 2 = 20

d^2 - 9 = 40

d^2 = 49

d = 7 см

Итак, расстояние между точками A и B равно 7 см.