Question

В треугольнике ABC высота AH пересекает медиану BM в точке K. Найдите угол между высотой и медианой, если AK=BC.

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Пусть угол BAC равен α. Также обозначим угол ABH как β и угол CBK как γ.

Так как AK=BC, то угол ABK равен α. Также медиана BM делит треугольник на два равных треугольника ABM и CMB, поэтому угол MBK равен углу CBK, то есть γ.

Рассмотрим треугольник ABH. У него имеются два вертикальных угла β и α, поэтому оставшийся угол BAH равен 180° - β - α.

Теперь рассмотрим треугольник ABK. У него три угла: угол ABK равен α, угол BAK равен 180° - β - α (по углу треугольника ABH), а угол AKB равен 180° - α - (180° - β - α) = 2α - β.

Так как треугольник ABK является прямоугольным (по условию AK=BC), то сумма его углов равна 180°. Поэтому мы можем записать уравнение:

α + (180° - β - α) + (2α - β) = 180°.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

α + 180° - β - α + 2α - β = 180°,

2α - 2β = 0,

2(α - β) = 0.

Так как α и β являются углами, которые не могут быть равными нулю, то можно сделать вывод, что α - β = 0.

Следовательно, α = β.

Таким образом, угол между высотой AH и медианой BM равен α, что равно β, то есть угол BAH.