Question

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности: 1) х^2 + у^2 + 6х - 14у - 5 = 0: 2) х^2 + y^2 + х = 0

Answer 1

Приведём уравнения к каноническому виду .

$1)\; \; x^2+y^2+6x-14y-5=0\\\\(x^2+6x)+(y^2-14y)=5\\\\(x+3)^2-9+(y-7)^2-49=5\\\\(x+3)^2+(y-7)^2=63\\\\okryznost\; \; centr\; C(-3;7)\; \; R=\sqrt{63}$

$2)\; \; x^2+y^2+x=0\\\\(x^2+x)+y^2=0\\\\(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+y^2=0\\\\(x+\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}\\\\okryznost\; \; centr\; C(-\frac{1}{2}\, ;\, 0\, )\; ,\; R=\frac{1}{2}$

Answer 2

1. Для доказательства того, что уравнение является уравнением окружности, нужно привести его к стандартному виду уравнения окружности.

Исходное уравнение: x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0

Перегруппируем слагаемые: x^2 + 6x + y^2 - 14y = 5

Для завершения квадратов выражений x и y, добавим недостающие слагаемые, половину коэффициента перед ними, возвышенного в квадрат: (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) = 5 + 9 + 49

Преобразуем правую часть: (x + 3)^2 + (y - 7)^2 = 63

Таким образом, приведенное уравнение имеет стандартный вид уравнения окружности: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Сравнивая полученное уравнение с стандартным видом, можем вывести следующие значения: h = -3 k = 7 r^2 = 63

Отсюда следует, что центр окружности имеет координаты (-3, 7), а радиус равен sqrt(63).

2. Исходное уравнение: x^2 + y^2 + x = 0

Данное уравнение не является уравнением окружности, так как отсутствует слагаемое, содержащее квадратичные выражения x и y. Уравнение окружности должно быть вида (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.

Таким образом, уравнение x^2 + y^2 + x = 0 не представляет окружность.