Question

основания прямоугольной трапеции равны 9 и 17 см,а диагональ делит тупой угол пополам ,найти площадь трапеции​

Answer 1

Дано:

АВСD - прямоугольная трапеция.

ВС - меньшее основание = 9 см.

AD - большее основание = 17 см.

АС - диагональ, биссектриса тупого угла ВСD.

Найти:

S(ABCD) = ?

Решение:

Рассмотрим пару накрест лежащих углов BCA и АCD при параллельных прямых ВС и AD. Они равны, так как ВС||AD (по определению трапеции), следовательно, треугольник CAD - равнобедренный. Причём боковые стороны - это стороны AD и CD (так как они лежат против равных углов в одном треугольнике). AD = CD = 17 см.

Опустим из вершины тупого угла BCD на основание AD высоту CH. Рассмотрим четырёхугольник СНАВ. Все углы прямые, следовательно, четырёхугольник СНАВ - прямоугольник. У прямоугольника равны противоположные стороны, следовательно, ВС = АН = 9 см. Тогда НD = 17 см-9 см = 8 см.

Рассмотрим треугольник СНD - прямоугольный. По теореме Пифагора можем найти катет СН -

CD²-HD² = CH²

17²-8² = CH²

289-64 = CH²

CH² = 225

CH = √225

CH = 15 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты.

Высота - СН = 15 см.

Полусумма оснований - 0,5*(ВС+AD) = 0,5*(9 см+17 см) = 13 см.

S(ABCD) = 13 см*15 см = 195 см².

Ответ: 195 см².

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые геометрические свойства трапеции и знание теоремы косинусов.

Обозначим основания трапеции как $a = 9$ см и $b = 17$ см.

Пусть $AC$ и $BD$ - основания трапеции, а $AB$ - диагональ, которая делит тупой угол $\angle C$ пополам.

Пусть $P$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Так как диагональ $AB$ делит угол $\angle C$ пополам, то $CP = DP$.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для треугольника $ABP$:

$$\cos\left(\frac{\angle C}{2}\right) = \frac{AB^2 + BP^2 - AP^2}{2 \cdot AB \cdot BP}$$

Так как $CP = DP$ и $AP = BP - AD = BP - CD$, то $AP = BP - a$.

Также известно, что $AB^2 = AD^2 + BD^2$.

Подставив все известные значения, получим:

$$\cos\left(\frac{\angle C}{2}\right) = \frac{(a + b)^2 + BP^2 - (BP - a)^2}{2 \cdot (a + b) \cdot BP}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\cos\left(\frac{\angle C}{2}\right) = \frac{2ab}{2 \cdot (a + b) \cdot BP} = \frac{ab}{(a + b) \cdot BP}$$

Теперь, так как угол $\angle C$ делится пополам, то $\cos\left(\frac{\angle C}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\angle C}{2}}$.

Подставляем значение $\cos\left(\frac{\angle C}{2}\right)$ в предыдущее уравнение:

$$\sqrt{\frac{1 + \cos\angle C}{2}} = \frac{ab}{(a + b) \cdot BP}$$

Теперь известно, что площадь трапеции можно выразить через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin\angle C$$

Так как $CP = DP$, то $\angle CPD = \angle CPB = \frac{\angle C}{2}$. Тогда $\angle CPD = \angle CPB = \angle APB = \angle APD$.

Следовательно, угол $\angle CPD$ можно выразить как $\angle CPD = 180 - 2\angle APD$.

Тогда синус угла $\angle CPD$ можно выразить как $\sin\angle CPD = \sin\left(180 - 2\angle APD\right) = \sin(2\angle APD)$.

А также известно, что $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.

Теперь мы можем выразить синус угла $\angle CPD$ через синус и косинус угла $\angle APD$:

$$\sin\angle CPD = 2\sin\angle APD\cos\angle APD$$

Снова используем теорему косинусов, но уже для треугольника $APB$:

$$\cos\angle APD = \frac{BP^2 + AP^2 - AB^2}{2 \cdot BP \cdot AP}$$