Question

55 баллов. 7 класс. В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки K и L соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры KH и LP к прямой DF, причём KH=LP, ∠DKH=∠PLF. Докажите, что DE=EF.

Answer 1

Если KH = LP, ∠DKH = ∠PLF, KH и LP - перпендикуляры, то △DKH = △FLP. Тогда ∠D = ∠F, а значит, △DEF - равнобедренный и DE = EF, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что DE = EF, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Обозначим углы треугольника DEF следующим образом: ∠DFE - угол при вершине D ∠DEF - угол при вершине E ∠EFD - угол при вершине F

Также, обозначим ∠DKH и ∠PLF как α.

Так как перпендикуляры KH и LP опущены из точек K и L соответственно, то по определению перпендикуляров, у нас есть следующие факты: ∠DKH = 90° ∠PLF = 90°

Также, по условию задачи, KH = LP и ∠DKH = ∠PLF, что означает, что треугольники DKH и PLF равны по двум сторонам и углу между ними. Это условие является достаточным для подобия этих треугольников.

Теперь мы можем сравнить соответствующие стороны треугольников DEF, DKH и PLF: DE/DF = DK/DH (по свойству подобия треугольников) EF/DF = PL/FL (по свойству подобия треугольников)

Поскольку DK = PL (так как KH = LP) и DH = FL (так как KH = LP), мы можем записать: DE/DF = PL/FL = EF/DF

Упрощая это уравнение, мы получаем: DE = EF

Таким образом, мы доказали, что DE = EF, используя свойства подобных треугольников и условия задачи.