Question

В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке O, ∠BOA = 60°, BK⊥AO. Найдите диагональ AC, если AK = 7 см. Выберите правильный ответ: 1) 14 см 2) 16 см 3) 28 см 4) 21 см

Answer 1

Ответ:

28 (Мне влом объяснять)

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему Пифагора.

Обозначим длину диагонали AC как х. Так как AK ⊥ AO, то треугольник AOK является прямоугольным треугольником. Из условия задачи известно, что AK = 7 см.

По теореме Пифагора в треугольнике AOK:

AK² + KO² = AO²

7² + KO² = (x/2)²

49 + KO² = x²/4

KO² = x²/4 - 49

KO = √(x²/4 - 49)

Также, из условия задачи известно, что ∠BOA = 60°. Так как треугольник BOK является прямоугольным треугольником, то тангенс угла BOA равен отношению противолежащего катета (KO) к прилежащему катету (BO):

tan(60°) = KO/BO

√3 = KO/BO

KO = BO * √3

Так как BO = AO/2, то

KO = (AO/2) * √3

√(x²/4 - 49) = (AO/2) * √3

x²/4 - 49 = (AO²/4) * 3

x² - 196 = 3AO²

x² = 3AO² + 196

В треугольнике AOC применим теорему Пифагора:

AO² + OC² = AC²

AO² + (2AK)² = AC²

AO² + 4AK² = AC²

AO² + 4 * 7² = AC²

AO² + 196 = AC²

Заменим AO² в выражении для x²:

x² = 3AO² + 196

x² = 3(AC² - 196) + 196

x² = 3AC² - 588 + 196

x² = 3AC² - 392

Теперь у нас есть два выражения для x²:

x²/4 - 49 = 3AC² - 392

x² - 196 = 3AC²

Подставим второе выражение в первое:

(3AC² - 392)/4 - 49 = 3AC² - 392

3AC²/4 - 98 - 49 = 3AC² - 392

3AC²/4 - 147 = 3AC² - 392

3AC² - 588 = 4 * 3AC² - 1568

3AC² - 588 = 12AC² - 1568

0 = 9AC² - 980

9AC² = 980

AC² = 980/9

AC = √(980/9) ≈ 10.33

Ответ: Ответ не является одним из предложенных вариантов.