Question

СРОЧНО 70 БАЛЛОВ!!!!!! Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Расстояние от точки А до точки касания равно 10 см, угол между касательными равен 120°. Найти радиус окружности.

Answer 1

Если из точки А проведены две касательные к окружности с центром О, то АО - биссектриса угла А.

Если угол А = 120°, то угол ВАО = углу САО = 60°.

Радиус окружности перпендикулярен касательной. Отсюда треугольник АОВ - прямоугольный.

Если треугольник АОВ - прямоугольный и угол ОАВ = 60°, то угол ВОА = 30°.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Из этого гипотенуза АО = ВА · 2 = 10 · 2 = 20 (см).

* дальше будем находить ОВ, он является как катетом, лежащим против угла в 60°, так и радиусом окружности! *

Катет, лежащий против угла 60°, равен произведению гипотенузы на sin60° => Катет, лежащий против угла 60°, равен произведению гиотенузв на √3/2.

Зная это, легко можно найти этот катет (ОВ) он равен АО · √3/2 = 20 · √3/2 = 10√3 (см).

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

задача решена! можно радоваться :)

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробнее. У нас есть окружность с центром O, из которой проведены две касательные из точки A. Мы знаем, что расстояние от точки A до точки касания (точки пересечения касательной с окружностью) равно 10 см, и угол между касательными равен 120°.

Поскольку касательные из одной точки к окружности равны по длине, обозначим точки касания как B и C. Также обозначим радиус окружности как r.

С учетом того, что треугольник ABC - равносторонний (угол между касательными 120°), углы при вершинах треугольника ABC равны 60°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABO, где AO - это радиус окружности, а AB - это расстояние от точки A до точки касания (10 см). Угол ABO равен 60°.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса для нахождения радиуса окружности:

$\tan(60°) = \frac{AB}{AO}$

Подставляем известные значения:

$\sqrt{3} = \frac{10}{r}$

Теперь решаем уравнение относительно r:

$r = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77 \text{ см}$

Таким образом, радиус окружности примерно равен 5.77 см.