Question

В остроугольном треугольнике abc высоты bk и ce пересекаются в точке m, be=3,5, bc=7. Найдите угол amc

Answer 1

Ключевые идеи

Все три высоты пересекаются в ортоцентре,

сумма острых углов в прямоугольном треугольнике 90 градусов; если против угла лежит катет в два раза короче гипотенузы, то этот угол равен тридцать градусов.

Answer 2

Для начала, давайте обозначим углы треугольника ABC:

• Угол BAC обозначим как α.
• Угол ABC обозначим как β.
• Угол ACB обозначим как γ.

Так как треугольник ABC остроугольный, все его углы α, β и γ являются острыми углами.

Мы знаем, что высоты треугольника BK и CE пересекаются в точке M. Таким образом, точка M является ортоцентром треугольника ABC, и высоты BK и CE являются его ортами.

Дано:

• BE = 3.5
• BC = 7

Мы можем заметить, что треугольник BEM является прямоугольным треугольником, так как BE – высота, а BC – гипотенуза, и BM – одна из катетов. Таким образом, по теореме Пифагора:

BM^2 + ME^2 = BE^2 BM^2 + (BC - BE)^2 = BE^2 BM^2 + (7 - 3.5)^2 = 3.5^2 BM^2 + 3.5^2 = 3.5^2 BM^2 = 0

Отсюда следует, что BM = 0, что означает, что точка M совпадает с вершиной B треугольника ABC. Таким образом, высота CE проходит через вершину B, и треугольник AEC прямоугольный.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AEC, и у нас есть угол α в этом треугольнике. Мы хотим найти угол AMC.

Угол AMC равен 180° минус сумма углов A и C, так как треугольник AMC находится вокруг диаметра AC:

Угол AMC = 180° - (α + γ)

Поскольку угол γ является углом прямоугольного треугольника AEC, он равен 90°.

Таким образом, угол AMC = 180° - (α + 90°) = 90° - α.

Таким образом, угол AMC равен 90° минус угол α треугольника ABC.