Question

Діагоналі рівнобічної трапеції ділять середню лінію на три рівні відрізки. Знайти основи трапеції якщо її бічна сторона дорівнює 15смі в трапецію можна вписати коло

Answer 1

Если в трапецию можно вписать окружность, то у неё сумма боковых сторон равна сумме оснований.

Пусть верхнее основание равно х, тогда нижнее - 30 - х.

Из подобия треугольников определяем, что левый и правый отрезки средней линии, а,значит, и средний раны (х/2).

Получаем: 3*(х/2) = (х + (30 - х)) / 2.

Отсюда 3х = 30 и получаем длину верхнего основания х = 30/3 = 10.

Тогда нижнее основание равно 30 - 10 = 20.

Ответ: 10 и 20.

Answer 2

Позначимо рівнобічну трапецію так:

AB - верхнє основання (коротша основа), CD - нижнє основання (довша основа), AD і BC - бічні сторони.

Діагоналі AC і BD ділять середню лінію EF трапеції на три рівні відрізки.

За властивостями трапеції, середня лінія EF є середнім арифметичним довжин основ трапеції:

EF = (AB + CD) / 2.

Знаючи, що діагоналі ділять середню лінію на три рівні відрізки, можна виразити EF через діагоналі:

EF = (AC + BD) / 3.

Враховуючи, що в рівнобічній трапеції діагоналі рівні бічним сторонам (AC = BD), ми можемо записати:

(AB + CD) / 2 = 2 * (AC / 3).

За умовою задачі, бічна сторона трапеції дорівнює 15 см, і в цю трапецію можна вписати коло. Оскільки трапеція вписана в коло, то її діагоналі є діаметрами кола. Отже, AC = BD = 15 см.

Підставимо значення AC у вираз:

(AB + CD) / 2 = 2 * (15 / 3), (AB + CD) / 2 = 10, AB + CD = 20.

Враховуючи, що сума довжин основ трапеції дорівнює 20 см, і одна з основ коротша за іншу, можна припустити, що AB < CD.

Тепер ми маємо систему рівнянь з двома невідомими: AB і CD.

Систему рівнянь: { AB + CD = 20, AB < CD. }

Знайдемо можливі значення основ трапеції, задовольняючи умовам системи.

Якщо припустити, наприклад, що AB = 5 см, то CD = 20 - 5 = 15 см.

Отже, основи трапеції можуть мати довжини AB = 5 см та CD = 15 см.