Question

Треугольник АОВ построен на радиусах окружности и ее хорде АВ, угол при основании 30. Через т. В проведена касательная, которая пересекается с прямой АО в точке С. Найти ВС, если АС= b​

Answer 1

Дано:

Окружность с центром в точке О.

△АОВ.

АВ - хорда.

∠ОВА = 30°

ОВ, ОА - радиусы.

Через В проведена касательная.

Касательная ∩ АО = С.

АС = b.

Найти:

ВС - ?

Решение:

Обозначим касательную, которая проведена через точку В точками ВС.

АС - секущая.

Так как ОВ, ОА - радиусы ⇒ ОВ = ОА ⇒ △АОВ - равнобедренный.

⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ = 30°, по свойству равнобедренного треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВОА = 180° - (30° + 30°) = 120°

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

ОВ - радиус, проведенный в точку касания с касательной ВС ⇒ ВС ⊥ ОВ.

⇒ △СВО - прямоугольный.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠ВОА смежный с ∠ВОС ⇒ ∠ВОС = 180° - 120° = 60°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ОСВ = 90° - 60° = 30°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ ОВ = 1/2ОС. ⇒ОС = 2 * ОВ = 2R (R - радиус данной окружности)

Найдём BC, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)

BC = √(OC² - BO²) = √((2R)² - R²) = √(4R² - R²) = √3R² = R√3

⇒ CD = CO - DO = 2R - R = R

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

⇒ BC² = CD * AC

(R√3)² = R * b

R = b/3

⇒ BC = √(b * b/3) = b√(3)/3.

Ответ: b√(3)/3.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть треугольник AOV, построенный на радиусах окружности (OA и OV) и хорде AV. Угол при основании AOV равен 30 градусам. Также дано, что AC = b, и через точку B проведена касательная, которая пересекает прямую AO в точке C. Нам нужно найти длину отрезка BC (или ВС).

Давайте рассмотрим схему этой задачи. По построению, треугольник AOV - равносторонний (поскольку угол AOV = 30 градусов), и значит, AO = OV = AV.

Также, поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, угол BVC (где V - центр окружности) также равен 90 градусам.

Получается, что треугольник BVC - прямоугольный. Мы знаем, что AV = AO = OV, таким образом, треугольник AVO также прямоугольный. Из этого следует, что угол AOV = 90 градусов.

Исходя из этого, мы видим, что треугольники AOV и BVC подобны (по двум углам), так как они имеют общий угол V и прямой угол.

Теперь мы можем использовать пропорции длин сторон треугольников AOV и BVC:

AV / AO = BC / BV

Поскольку AO = OV и AV = AO, мы можем записать:

1 = BC / BV

Так как AV = AO = AC + CV (по теореме о касательной и хорде), мы можем выразить BV через b:

AV = AC + CV AO = b + CV

Таким образом:

OV = AO = b + CV

Теперь, подставляем это в нашу пропорцию:

1 = BC / (b + CV)

Отсюда можно выразить BC:

BC = b + CV

Так как треугольники AOV и BVC подобны, угол VBC также равен 30 градусам (поскольку он подобен углу VAO). Это означает, что треугольник VBC также равнобедренный, и CV = BV.

Следовательно:

BC = b + BV

Но так как треугольник BVC - прямоугольный, то по теореме Пифагора:

BV^2 + VC^2 = BC^2

Так как BV = CV:

2BV^2 = BC^2

Теперь мы можем выразить BV^2:

BV^2 = BC^2 / 2

И наконец, выразить BV:

BV = √(BC^2 / 2)

Таким образом, длина отрезка BV (и, следовательно, BC) выражается через длину отрезка AC (b) исходя из приведенных выше формул.