Question

5. Образующая конуса 5м и образует с плоскостью основания угол в 30 град. Найти объем конуса. ​

Answer 1

Дано:

Конус.

L = РА = 5 (м).

∠РАО = 30°.

Найти:

V - ? (м³).

Решение:

V = (1/3)πR²h

Осевое сечение этого конуса (если ось плоскость проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота ВН делит этот равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных △АРО и △ВРО (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что △АРВ - равнобедренный)

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ РО = Н = 5/2 = 2,5 (м).

Найдём радиусы АО и ВО, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза, а, b - катеты).

b = √(c² - a²) = √(5² - 2,5²) = √(25 - (5/2)²) = √(25 - 25/4) = √75/4 = √75/2 = 5√3/2 (м).

Итак, АО = ВО = 5√3/2 (м).

V = π((5√3/2)² ⋅ 2,5 ⋅ 1/3) = π(25/4 ⋅ 5/2 ⋅ 1/3) = 125/8π = 15,625π (м³).

Ответ: 15,625π (м³).

Answer 2

Объем конуса можно вычислить с использованием следующей формулы:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

где $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса.

Дано, что образующая конуса $l = 5$ м и угол между образующей и плоскостью основания $\theta = 30^\circ$.

Образующая конуса, радиус основания и высота связаны следующим образом: $l = \sqrt{r^2 + h^2}.$

Известно, что $l = 5$ м и $\theta = 30^\circ$, поэтому мы можем найти $r$ и $h$: $\sin \theta = \frac{h}{l},$

$h = l \cdot \sin \theta = 5 \cdot \sin 30^\circ = 2.5 \text{ м}.$

Теперь у нас есть радиус основания $r$ и высота $h$, и мы можем найти объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (r^2) \cdot h = \frac{1}{3} \pi \cdot (2.5^2) \cdot 2.5 \approx 13.08 \text{ м}^3.$

Таким образом, объем конуса составляет примерно $13.08$ кубических метра.