Question

В треугольнике ABC угол A равен 120∘. Известно, что AB=6, а биссектриса угла A равна 4. Найдите длину стороны AC. Решите, пожалуйста, через площади.

Answer 1

Ответ: 12 (ед. длины)

Объяснение:  

 Одна из формул биссектрисы треугольника

                 L={2ab•cos(0,5γ)}:(a+b) ,

где L биссектриса, а и b- стороны, γ - угол между ними.

На приведенном рисунке АК - биссектриса ∆ АВС, АС=а, АВ=6,  угол А=γ =120°

cos0,5γ=cos60°=1/2

4=2a•6•0,5/(a+6) =>

4a+24=6a =>

АС=a=12 (ед. длины)

Или с тем же результатом найти:

1) По т. косинусов из ∆ АКВ найти КВ

2) по т. синусов из ∆ АКВ угол В

3) из суммы углов треугольника угол С

4) по т. синусов вычислить длину искомой стороны АС

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC с заданными данными:

У нас есть треугольник ABC, где угол A равен 120°, AB = 6, и биссектриса угла A равна 4.

Давайте обозначим стороны треугольника: AC = x, BC = y.

Мы можем использовать факт, что биссектриса угла A делит противоположную сторону (BC) на отрезки, пропорциональные смежным сторонам (AB и AC):

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

Так как биссектриса делит сторону BC на два отрезка (BD и CD), где BD = 4 и CD = y - 4:

$\frac{4}{y - 4} = \frac{6}{x}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно y:

$4x = 6(y - 4)$ $4x = 6y - 24$ $6y = 4x + 24$ $y = \frac{2}{3}x + 4$

Теперь давайте воспользуемся формулой для площади треугольника через биссектрису и смежные стороны:

$S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)}$

где s - полупериметр треугольника, который равен полусумме всех сторон:

$s = \frac{AB + AC + BC}{2}$ $s = \frac{6 + x + \frac{2}{3}x + 4}{2}$ $s = \frac{5}{6}x + 5$

Теперь мы можем подставить полупериметр в формулу для площади:

$S = \sqrt{\left(\frac{5}{6}x + 5\right)\left(\frac{5}{6}x + 5 - 6\right)\left(\frac{5}{6}x + 5 - \frac{2}{3}x - 4\right)\left(\frac{5}{6}x + 5 - \frac{2}{3}x - 4\right)}$

$S = \sqrt{\frac{25}{36}x^4} = \frac{5}{6}x^2$

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через биссектрису и смежные стороны:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot BC$

$S = 2AC + 3BC$

Из уравнения выше мы можем выразить BC через y:

$BC = \frac{2}{3}x + 4$

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для площади:

$S = 2AC + 3\left(\frac{2}{3}x + 4\right)$ $S = 2AC + 2x + 12$

Из сравнения двух выражений для площади:

$\frac{5}{6}x^2 = 2AC + 2x + 12$

Мы можем выразить длину стороны AC через x:

$AC = \frac{5}{12}x^2 - x - 6$

Теперь мы можем подставить выражение для y (изначально полученное через биссектрису) в выражение для AC:

$\frac{2}{3}x + 4 = \frac{5}{12}x^2 - x - 6$

Преобразуем это уравнение и найдем значения x и, следовательно, AC:

$\frac{5}{12}x^2 - \frac{2}{3}x - x = 10$