Question

Бокавая грань четырехугольной пирамиды наклонила к площади основы пол углом 60 градусов. Определите объем этой пирамиды,если радиус вписанного а нее шара равен 3 см.

Answer 1

Дано:

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар.

R шара (ОО1, О1К) = 3 см.

∠SFO = 60˚.

Найти:

V пирамиды - ?

Решение:

Проведём биссектрису О1F.

△O1OF - прямоугольный, так как SO - высота.

=> ∠O1FO = O1FK = 60˚/2 = 30˚

"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".

=> O1F = 3 * 2 = 6 см

Найдём катет OF, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

b = √(c² - a²) = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см

Итак, OF = 3√3 см

△SOF - прямоугольный, так как SO - высота.

"Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3".

=> SO = OF * √3 = 3√3 * 3 = 9 см.

Итак высота пирамиды SO = 9 см.

MO = OF = 3√3 см, так как SО - высота пирамиды.

=> MF = 3√3 * 2 = 6√3 см

Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.

"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".

=> MF = AB = BC = DC = AD = 6√3 см

S квадрата = а², где а - сторона квадрата.

S квадрата = (6√3)² =  108 см²

V пирамиды = 1/3 * S квадрата * SO = 1/3 * 108 * 9 = 324 см³

Ответ: 324 см³

Answer 2

Всё расписано на фото. В случае неуверенности в моём ответе, прошу сообщить об этом:

Answer 3

Давайте разберемся с данной задачей. У нас есть четырехугольная пирамида, у которой боковая грань наклонена к площади основы под углом 60 градусов. Помимо этого, дано, что радиус вписанного в пирамиду шара равен 3 см.

Для начала, нам необходимо найти высоту пирамиды. Поскольку боковая грань наклонена к площади основы под углом 60 градусов, мы имеем дело с треугольником, в котором известны гипотенуза (радиус вписанного шара) и угол между гипотенузой и одним из катетов (60 градусов).

Используем тригонометрический закон синусов:

$\frac{r}{\sin(60^\circ)} = \frac{h}{\sin(90^\circ)}$,

где $r$ - радиус вписанного шара, $h$ - высота пирамиды.

Так как $\sin(90^\circ) = 1$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, можно переписать уравнение как:

$r = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,

$h = r \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$,

$h = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть высота пирамиды $h$. Для вычисления объема пирамиды можно использовать формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основы}} \cdot h$,

где $S_{\text{основы}}$ - площадь основы пирамиды.

Для четырехугольной пирамиды площадь основы можно найти, разбив её на два треугольника и сложив их площади. Так как у нас есть радиус вписанного в пирамиду шара, который является радиусом окружности вписанной в основу пирамиды, можем воспользоваться формулой для площади треугольника по радиусу окружности $r$ и его стороне $a$:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a$,

где $a$ - длина стороны треугольника.

Поскольку у нас равносторонний треугольник, все его стороны равны. Так как угол между боковой гранью и основанием составляет 60 градусов, мы можем разделить его пополам и получить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза это сторона $a$, а катет равен $r$. Тогда:

$a = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь можем найти площадь одного из треугольников:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ см².

Так как вся площадь основы состоит из двух таких треугольников, $S_{\text{основы}} = 2 \cdot 9 = 18$ см².

Теперь, подставляя найденные значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 2 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$ см³.

Итак, объем пирамиды составляет $12 \sqrt{3}$ кубических сантиметров.