Question

На стороні АВ трикутника АВС позначили точку М так, що ∠АСМ=∠АВС, АМ=9см, ВМ=7см. Знайдіть сторону АС.

Answer 1

У треугольников ABC и AMC ∠А — общий, ∠ABC = ∠ACM. Следовательно, ΔABC ~ ΔAMC.

AC/AM = AB/AC  ⇒  AC² = AM · AB  ⇒  AC = √(9 · 16) = 3 · 4 = 12 см

Answer 2

Ми можемо використовувати закон синусів для знаходження сторони АС трикутника АВС.

Закон синусів гласить:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,

де $a$, $b$, $c$ - довжини сторін трикутника, $A$, $B$, $C$ - відповідні кути.

У нашому випадку ми знаємо $АМ = 9$ см, $ВМ = 7$ см, і ми хочемо знайти $АС$.

Давайте позначимо $АС = x$, $ВС = y$.

Ми знаємо, що $\angle АСМ = \angle АВС$, тому можемо позначити ці кути як $α$.

Тепер застосуємо закон синусів до трикутників АМС та ВМС:

Для трикутника АМС:

$\frac{9}{\sin α} = \frac{x}{\sin C}$.

Для трикутника ВМС:

$\frac{7}{\sin α} = \frac{y}{\sin C}$.

Отже, ми маємо систему рівнянь:

$\frac{9}{\sin α} = \frac{x}{\sin C}$,

$\frac{7}{\sin α} = \frac{y}{\sin C}$.

Поділимо перше рівняння на друге:

$\frac{9}{7} = \frac{x}{y}$.

Звідси ми можемо виразити $x$ через $y$:

$x = \frac{9}{7} y$.

Тепер ми можемо підставити це в рівняння з першого трикутника:

$\frac{9}{\sin α} = \frac{\frac{9}{7} y}{\sin C}$.

Спростимо:

$\frac{1}{\sin α} = \frac{1}{7 \sin C}$.

Звідси ми бачимо, що $\sin α = 7 \sin C$.

Але ми також знаємо, що синус кута α дорівнює синусу кута ВСА, тобто $\sin α = \sin (\angle ВСА)$.

Таким чином, $\sin (\angle ВСА) = 7 \sin C$.

Але з означення синуса для трикутника ВСА, ми також можемо записати:

$\sin (\angle ВСА) = \frac{ВМ}{АС}$.

Зробимо підстановку:

$\frac{7}{x} = 7 \sin C$.

Отже, $\sin C = \frac{1}{x}$.

Зрештою, ми можемо виразити $\sin α$ через $\sin C$:

$\sin α = 7 \sin C = 7 \cdot \frac{1}{x} = \frac{7}{x}$.

Повернемося до рівняння для трикутника АМС:

$\frac{9}{\sin α} = \frac{x}{\sin C}$.

Підставимо значення $\sin α$ і $\sin C$:

$\frac{9}{\frac{7}{x}} = \frac{x}{\frac{1}{x}}$.

Спростимо:

$9x^2 = x^2$.

Відсюди отримуємо $x^2 = 0$