Question

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 16 см и образует с боковой гранью угол 30°. Вычисли площадь основания призмы.

Answer 1

Ответ:

64 см²

Объяснение:

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 16 см

и образует с боковой гранью угол 30°.

Надо вычислить площадь основания призмы.

Диагональ правильной четырёхугольной призмы

образует с боковой гранью угол 30° и мы знаем, что катет лежащий против 30° (это сторона основания  призмы, т.е. сторона квадрата) равен на половину гипотенуза.

Это значит сторона квадрата равен  на 8.

Тогда площадь основания  призмы равен на 8×8=64 см²

                     

Answer 2

Пусть ABCD - основание призмы, EFGH - верхняя грань призмы, причем точка E совпадает с точкой A, точка F совпадает с точкой B, точка G совпадает с точкой C, и точка H совпадает с точкой D. Пусть O - середина ребра EF.

Так как DE = EF = FG = GD, то EFGD - ромб. Также, так как EO - медиана ромба EFGD, то угол DEO равен 90°.

По условию, угол EAD (угол между диагональю призмы и боковой гранью) равен 30°.

В треугольнике AEO у нас есть два известных угла: AEO = 90° (по вышеуказанным свойствам) и EAD = 30° (по условию).

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, OAE = 180° - 90° - 30° = 60°.

Таким образом, в треугольнике AEO у нас известны два угла: OAE = 60° и AEO = 90°. Следовательно, третий угол, OEA, также равен 30°.

Так как треугольник OAE имеет два равных угла (OAE = OEA = 30°), то он является равнобедренным. Это означает, что OA = OE.

Также, так как EO - медиана ромба EFGD, то она перпендикулярна стороне EF и проходит через её середину, то есть точку O. Это означает, что треугольник EOF также является прямоугольным, и мы можем использовать тригонометрические отношения для вычисления длины стороны EF.

Пусть EF = a. Тогда по определению синуса угла 30°:

sin(30°) = a / OE.

Так как OA = OE, то можно написать:

sin(30°) = a / OA.

С учетом того, что sin(30°) = 1/2, получим:

1/2 = a / OA.

Следовательно, a = OA / 2.

Так как треугольник EOF - прямоугольный и OAE = 30°, то по определению тангенса угла:

tan(30°) = OA / OE.

Так как OA = OE, то:

tan(30°) = 1.

По определению тангенса:

tan(30°) = a / EF.

Подставляя a = OA / 2, получаем:

1 = (OA / 2) / EF, EF = OA / 2.

Таким образом, сторона EF равна половине длины стороны OA.

С учетом того, что сторона OA - это диагональ основания призмы, а диагональ равностороннего ромба равна произведению длины его стороны на √2:

OA = 16 / √2 = 8√2.

Тогда EF = 8√2 / 2 = 4√2.

Площадь основания призмы ABCD равна площади ромба EFGD, которая вычисляется как произведение длин его диагоналей, разделенное на 2:

S_основания = (EF * EG) / 2 = (4√2 * 4√2) / 2 = 32.

Итак, площадь основания призмы составляет 32 квадратных сантиметра.