Question

образующая конуса равна 4 см и составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Определить объем конуса.

Answer 1

Ответ:

$V=\frac{8\sqrt{3}\pi }{3}$

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления объема конуса, нам нужно знать радиус его основания. У нас есть длина образующей (луча) и угол между образующей и плоскостью основания.

В данном случае, нам дана длина образующей (l) равная 4 см и угол (α) между образующей и плоскостью основания равен 60 градусов.

Обозначим радиус основания конуса как r.

Из геометрических соотношений, мы можем выразить радиус основания в терминах образующей и угла:

r = l * sin(α)

где α нужно выразить в радианах для функции синуса:

α (в радианах) = 60° * (π / 180°) ≈ 1.047 радиан

Теперь можем вычислить радиус:

r = 4 см * sin(1.047) ≈ 3.464 см

Теперь, чтобы найти объем конуса, используем формулу:

V = (1/3) * π * r² * h

где h - высота конуса, которая равна образующей (4 см).

Подставляем значения:

V = (1/3) * π * (3.464 см)² * 4 см ≈ 52.91 см³

Таким образом, объем конуса составляет примерно 52.91 кубических сантиметров.

Answer 3

Обозначим высоту конуса как "h", радиус его основания как "r" и образующую как "l". Известно, что образующая равна 4 см и угол между образующей и плоскостью основания составляет 60 градусов.

Мы можем использовать следующие соотношения:

1. Связь между высотой, радиусом основания и образующей конуса: l^2 = r^2 + h^2.
2. Связь между радиусом основания и высотой, используя тригонометрию: r = h * tan(угол между образующей и плоскостью основания).

Из условия, у нас дана образующая l = 4 см и угол между образующей и плоскостью основания 60 градусов, поэтому можем выразить радиус основания: r = h * tan(60°).

Подставив это в первое уравнение и решив относительно h, получим: l^2 = (h * tan(60°))^2 + h^2.

Теперь можно выразить высоту h: h = l / sqrt(1 + tan^2(60°)).

Подставляя известные значения, получим: h = 4 / sqrt(1 + tan^2(60°)).

Так как tan(60°) = sqrt(3), мы можем упростить выражение: h = 4 / sqrt(1 + 3) = 4 / 2 = 2 см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить объем конуса с помощью формулы: V = (1/3) * π * r^2 * h.

Подставляем вычисленное значение высоты и радиуса: V = (1/3) * π * (2 см)^2 * 2 см = (1/3) * π * 4 см^3 ≈ 4.19 см^3.

Итак, объем конуса составляет приблизительно 4.19 кубических сантиметра.