Question

Основание пирамиды – квадрат со стороной 4 см. Боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объем пирамиды.

Answer 1

З умови слідує , що відстань від центра основи піраміди до сторони основі дорівнює висоті піраміди

Answer 2

Для вычисления объема пирамиды можно использовать следующую формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$

где:

• $V$ - объем пирамиды,
• $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды,
• $h$ - высота пирамиды.

У нас уже есть информация о стороне квадратного основания: $a = 4$ см. Так как боковые ребра равны и наклонены под углом 45° к плоскости основания, то можно найти высоту пирамиды с помощью треугольника, образованного боковым ребром, половиной стороны основания и высотой пирамиды.

По теореме Пифагора, в этом прямоугольном треугольнике (половина стороны основания, высота и боковое ребро) справедливо: $\text{боковое ребро}^2 = \text{половина стороны основания}^2 + \text{высота}^2.$

Подставим известные значения: $\text{боковое ребро} = 4 \, \text{см} \quad \text{(так как сторона основания и боковые ребра равны)},$ $\text{половина стороны основания} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см}.$

Теперь можем найти высоту: $\text{высота}^2 = \text{боковое ребро}^2 - \text{половина стороны основания}^2,$ $\text{высота}^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12.$

$\text{высота} = \sqrt{12} \approx 3.464 \, \text{см}.$

Теперь, подставив найденные значения стороны основания и высоты в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$ $V = \frac{1}{3} \cdot (4 \, \text{см} \times 4 \, \text{см}) \cdot 3.464 \, \text{см},$ $V = \frac{1}{3} \cdot 16 \, \text{см}^2 \cdot 3.464 \, \text{см},$ $V \approx 18.357 \, \text{см}^3.$

Таким образом, объем пирамиды составляет приблизительно $18.357$ кубических сантиметров.