Question

Три площини попарно перпендикулярні.Доведіть, що прямі їх перетину також попарно перпендикулярні.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дві площині що перетинаються, називають перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна прямий перетину цих площин, і перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Оскільки площина перетинає їх по перпендикулярних прямих, то згідно з визначенням прямої перпендикулярної площині, вона перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в цій площині.

Отже, вона буде перпендикулярной і прямой, що перетинає дві інши площини.

Answer 2

Нехай маємо три площини, позначимо їх як A, B і C. Дано, що площини A і B перпендикулярні, площини B і C перпендикулярні, а також площини C і A перпендикулярні.

Ми хочемо довести, що прямі перетину цих площин будуть попарно перпендикулярні.

Позначимо за l_AB пряму перетину площин A і B, за l_BC - пряму перетину площин B і C, і за l_CA - пряму перетину площин C і A.

Також, позначимо за n_AB вектор нормалі до площини A, за n_BC - вектор нормалі до площини B, і за n_CA - вектор нормалі до площини C.

За властивостями перпендикулярних площин, вектор нормалі до перетину двох площин буде паралельний векторному добутку їх нормалей. Тобто, n_AB буде паралельний n_A × n_B, n_BC буде паралельний n_B × n_C, і n_CA буде паралельний n_C × n_A.

Тепер ми можемо спостерігати, що вектори n_A, n_B і n_C утворюють замкнуту систему (зациклений порядок), тому їх векторний добуток буде напрямлений вздовж вектора n_AB. Тобто, n_A × n_B буде паралельний n_AB.

Аналогічно, n_B × n_C буде паралельний n_BC, і n_C × n_A буде паралельний n_CA.

Отже, ми маємо, що вектори n_A × n_B, n_B × n_C і n_C × n_A паралельні відповідно векторам n_AB, n_BC і n_CA.

А тепер ми використовуємо факт, що вектори n_AB, n_BC і n_CA утворюють замкнуту систему (зациклений порядок). Це означає, що їх векторний добуток n_AB × n_BC × n_CA буде напрямлений вздовж прямої l_AB. Але також ми знаємо, що цей векторний добуток є вектором нормалі до перетину площин A, B і C одночасно.

Отже, пряма l_AB перпендикулярна до площин B і C, і так само можна показати, що l_BC перпендикулярна до площин C і A, а l_CA перпендикулярна до площин A і B.

Таким чином, ми довели, що прямі перетину площин A і B, B і C, а також C і A попарно перпендикулярні.