Question

Обьем конуса равен 3. Найдите обьем вписанного в конус правильной четырехугольной пирамиды. Ответы:а) 6/пив) 4/пис) д) 8/пие) 9/пи​

Answer 1

Ответ: а) 6/π

Пусть H – высота конуса и высота пирамиды, R – радиус основания конуса и радиус описанной около основания пирамиды окружности. Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса.

Объём конуса, и объём пирамиды вычисляются по формуле:

V = 1/3 Sосн·Н

Так как в основании конуса – круг, то Sосн. конуса = πR²

Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в основании – квадрат, следовательно Sосн. пирамиды = а²

Vп/Vк = 1/3 а²H / 1/3πR²H = а² / πR²

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали:

S = d²/2, d = 2R, S = (2R)²/2 = 2R², тогда:

Vп/Vк = а² / πR² = 2R² / πR² = 2/π

Так как по условию задачи объём конуса равен 3, то Vп/3 = 2/π, Vп = 6/π

Ответ:  6/π

Answer 2

Объем вписанной в конус правильной четырёхугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

$V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{конуса}}$

Где $V_{\text{конуса}}$ - объем конуса, а $V_{\text{пирамида}}$ - объем вписанной в конус пирамиды.

Известно, что объем конуса $V_{\text{конуса}} = 3$.

Подставив это значение в формулу, получим:

$V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$

Итак, объем вписанной в конус правильной четырёхугольной пирамиды равен 1.

Среди предложенных вариантов ответов правильный - $\text{в) } 4/\pi$.