Question

Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найти: а) объемы сегментов, на которые данная плоскость делит шар; б) найти объем сектора, соответствующего меньшему сегменту.

Answer 1

Страница с решением одна. Фото несколько, чтобы было лучше видно

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические свойства сегментов и секторов сферы.

а) Объем сегмента сферы можно найти по следующей формуле:

$V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{3}h\left(3r_{\text{сегмента}}^2 + h^2\right),$

где $h$ - высота сегмента (расстояние от секущей плоскости до центра шара), $r_{\text{сегмента}}$ - радиус сегмента (радиус плоскости, отстоящей от центра шара на расстоянии $h$).

По условию задачи, $h = 8$ см, $r_{\text{сегмента}} = 6$ см.

Подставляя значения в формулу:

$V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \left(3 \cdot 6^2 + 8^2\right) = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \left(108 + 64\right) = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 172 = 457.\overline{3} \, \text{см}^3.$

б) Объем сектора сферы можно найти по формуле:

$V_{\text{сектора}} = \frac{2\pi r_{\text{сегмента}}^2 h_{\text{сегмента}}}{3},$

где $h_{\text{сегмента}}$ - высота сегмента (то же самое, что и $h$ в предыдущей формуле).

Подставляя значения:

$V_{\text{сектора}} = \frac{2\pi \cdot 6^2 \cdot 8}{3} = \frac{288\pi}{3} = 96\pi \, \text{см}^3.$

Итак, ответы: а) Объем сегмента, на который данная плоскость делит шар, составляет около $457.\overline{3} \, \text{см}^3$. б) Объем сектора, соответствующего меньшему сегменту, равен $96\pi \, \text{см}^3$.