Question

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней, проходящих через одну вершину, равны 6, 15, и 10 квадратных единиц соответственно. Знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней, що проходять через одну вершину, дорівнюють 6, 15 , та 10 квадратних одиниць відповідно.

Answer 1

.......................

Answer 2

Обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$. Пусть вершина, через которую проходят грани с площадями 6, 15 и 10, соответственно, находится в углу, образованном сторонами $a$, $b$ и $c$.

Тогда мы можем записать следующую систему уравнений на основе площадей граней:

1. $ab = 6$
2. $bc = 15$
3. $ac = 10$

Чтобы найти объем $V$ параллелепипеда, мы можем использовать формулу $V = abc$. Давайте решим систему уравнений:

Из уравнения (1): $b = \frac{6}{a}$ Из уравнения (2): $c = \frac{15}{b} = \frac{15}{6/a} = \frac{15a}{6}$ Из уравнения (3): $c = \frac{10}{a}$

Теперь мы имеем два выражения для $c$:

$\frac{15a}{6} = \frac{10}{a}$

Решим это уравнение относительно $a$:

$\frac{15a^2}{6} = 10$

Умножим обе стороны на $\frac{6}{15}$:

$a^2 = \frac{40}{15}$

$a^2 = \frac{8}{3}$

$a = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Теперь мы можем найти $b$ и $c$:

$b = \frac{6}{a} = \frac{6}{2\sqrt{6}/3} = \sqrt{6}$

$c = \frac{10}{a} = \frac{10}{2\sqrt{6}/3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

Теперь мы можем найти объем $V$:

$V = abc = \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен $\frac{20}{3}$ кубических единиц.