Question

Основание пирамиды – ромб со стороной 6см и углом 45°, все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Ответ:

$S=18\sqrt{2} +12\sqrt{6}$ cм².

Объяснение:

ABCD-ромб ( основание пирамиды)

Найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь ромба.

Найдем площадь ромба по формуле:

$S=a^{2} sin\alpha ;\\S=6^{2} \cdot sin45^{0} =36\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} =18\sqrt{2}$

Площадь основания пирамиды равна 18√2 см².

Найдем площадь боковой поверхности как полупроизведение  периметра основания на апофему.

$P=4\cdot6=24$ см.

На рисунке отрезок  SOM -- высота боковой грани является апофемой.

Рассмотрим треугольник SOM - прямоугольный . Отрезок OM является радиусом окружности вписанной в ромб.

Радиус окружности, вписанной в ромб найдем по формуле:

$r=\dfrac{2S}{p} ;\\\\r=\dfrac{2\cdot18\sqrt{2} }{24} =\dfrac{3\sqrt{2} }{2} ;\\\\OM=\dfrac{3\sqrt{2} }{2} ;$

В треугольнике  SOM  найдем апофему  SM .

$cos30^{0} =\dfrac{OM}{SM} ;\\\\SM=\dfrac{OM}{cos30^{0} } ;\\SM= \dfrac{3\sqrt{2} }{2} :\dfrac{\sqrt{3} }{2} = \dfrac{3\sqrt{2} }{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3} } =\sqrt{6}$

Тогда площадь боковой  поверхности будет равна

$S=\dfrac{1}{2} \cdot24\cdot\sqrt{6} =12\sqrt{6}$

Площадь боковой  поверхности будет 12√6см²

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади основания и боковой поверхности

$S=18\sqrt{2} +12\sqrt{6}$ cм².

2 способ.

Площадь боковой поверхности можно было бы найти по формуле ортогональной проекции.

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды можно площадь основания разделить на косинус двугранного угла.

Значит, боковая поверхность может быть найдена так:

$S=\dfrac{18\sqrt{2} }{cos30^{0} } =\dfrac{18\sqrt{2}\cdot2 }{\sqrt{3} } =\dfrac{36\sqrt{6} }{3} =12\sqrt{6}$

Answer 2

Давайте разберёмся с задачей.

У нас есть пирамида с ромбической основой, где сторона ромба равна 6 см, а угол между этой стороной и одной из его диагоналей (например, диагональю ABCD) равен 45°. Также известно, что все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30°.

Площадь полной поверхности пирамиды можно разделить на несколько частей: площадь основания ромба и площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Площадь основания ромба: Площадь ромба можно найти, используя следующую формулу: S = a * b, где "a" и "b" - длины диагоналей ромба.

У нас есть одна диагональ (AB), которая равна стороне ромба (6 см), и другая диагональ (AC или BD), которая может быть найдена с помощью теоремы косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(45°).

Здесь BC - это половина длины второй диагонали. Поскольку у нас нет дополнительной информации о размерах ромба, давайте воспользуемся тем фактом, что угол между стороной ромба и одной из его диагоналей равен 45°, что делает ромб равнобедренным.

Это означает, что диагональ AC равняется 6 см (так как она равна стороне ромба), и выражение для площади основания ромба становится: S_осн = 6 см * 6 см = 36 см^2.

2. Площадь боковой поверхности пирамиды: Боковая поверхность пирамиды представляет собой четыре равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет два равных угла при основании (30°) и угол между этими боковыми сторонами (60°).

Давайте найдем высоту боковой грани пирамиды (назовем её h) с помощью теоремы синусов в одном из боковых треугольников: h / sin(30°) = BC / sin(60°).

BC - это половина диагонали ромба, равная 3 см, поэтому: h / (1/2) = 3 / (√3/2), h = 3√3 см.

Теперь можно найти площадь одной из боковых граней пирамиды, используя формулу S_бок = (1/2) * a * h, где "a" - длина стороны основания (6 см): S_бок = (1/2) * 6 см * 3√3 см = 9√3 см^2.

Так как у пирамиды четыре боковых грани, общая площадь боковой поверхности равна: S_бок_полн = 4 * S_бок = 4 * 9√3 см^2 = 36√3 см^2.

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности пирамиды, добавьте площадь основания и площадь боковой поверхности: S_полная = S_осн + S_бок_полн = 36 см^2 + 36√3 см^2 ≈ 99.07 см^2.

Итак, площадь полной поверхности пирамиды составляет около 99.07 квадратных сантиметров.