Question

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8 корень3 . Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°.

Answer 1

Ответ: V=768√2(ед³)

Объяснение: в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат поэтому все стороны основания равны по 8√3. Диагональ основания ВД делит его на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых стороны основания являются катетами а диагональ гипотенузой, а также диагонали пересекаясь делятся пополам, поэтому ВО=ДО=АО=СО. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в √2 раз поэтому ВД=8√3×√2=8√6.

ВО=ДО=8√6/2=4√6. Боковое ребро КД, высота КО и ДО образуют прямоугольный треугольник в котором КО и ДО - катеты, а КД - гипотенуза. Также угол КДО=60° и така как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол ДКО=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы поэтому гипотенуза КД=4√6×2=8√6

Найдём КО по теореме Пифагора:

КО²=КД²-ДО²=(8√6)²-(4√6)²=64×6-16×6=

=384-96=288;. КО=√288=12√2

Sосн=(8√3)²=64×3=192(ед²)

Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания по формуле: V=⅓×Sосн×КО=⅓×192×12√2=

=64×12√2=768√2(ед³)

Answer 2

Для нахождения объёма пирамиды с данными характеристиками, мы можем использовать следующую формулу:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды. Нам необходимо найти оба эти значения.

1. Площадь основания пирамиды ($S_{\text{основания}}$) равна квадрату длины стороны основания:

   $S_{\text{основания}} = (8 \sqrt{3})^2 = 192.$

2. Так как боковая грань пирамиды образует угол 60° с плоскостью основания, то мы можем разделить пирамиду на два равнобедренных треугольника и находить высоту ($h$) одного из этих треугольников.

   Для этого можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Если $a$ - длина стороны основания треугольника, то половина длины основания треугольника ($b$) равна $b = \frac{a}{2}$, а высота ($h$) может быть найдена как $h = b \cdot \tan(60^\circ)$.

   В данном случае $a = 8 \sqrt{3}$, следовательно:

   $b = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}.$

   $h = 4 \sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12.$

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объёма:

$V = \frac{1}{3} \times 192 \times 12 = 64 \times 12 = 768.$

Ответ: Объём пирамиды равен 768 единицам кубического объёма.