Question

Точки A2, B2, C2 — середины дуг BAC, ABC, ACB описанной окружности треугольника ABC соответственно. Известны углы треугольника ABC: ∠A=42∘, ∠B=74∘, ∠C=64∘. Найдите углы треугольника A2B2C2.

Answer 1

Рассмотрим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику A2B2C2 относительно центра описанной окружности. Фигуры, симметричные относительно точки, равны - углы треугольника A1B1C1 равны углам треугольника A2B2C2.

Вершины треугольников диаметрально противоположны, точки A1, C1, B1 - середины дуг CB, BA, AC.

∪C1A =∪BA/2 =C

∪AB1 =∪AC/2 =B

A1 =∪C1B1/2 =(∪C1A+∪AB1)/2 =(C+B)/2

Аналогично углы B1, C1.  

A2 =A1 =(C+B)/2 =(64+74)/2=69

B2 =B1 =(A+C)/2 =(42+64)/2=53

C2 =C1 =(A+B)/2 =(42+74)/2=58

Answer 2

Для начала, давайте найдем углы треугольника A2B2C2.

Мы знаем, что точки A2, B2 и C2 - это середины дуг BAC, ABC и ACB описанной окружности треугольника ABC. Это означает, что угол B2A2C2 равен половине угла BAC (половина дуги BAC), угол A2B2C2 равен половине угла ABC (половина дуги ABC), и угол C2A2B2 равен половине угла ACB (половина дуги ACB).

Дано: ∠A = 42° ∠B = 74° ∠C = 64°

Теперь можем рассчитать углы треугольника A2B2C2:

Угол B2A2C2 = 1/2 * ∠BAC = 1/2 * 42° = 21° Угол A2B2C2 = 1/2 * ∠ABC = 1/2 * 74° = 37° Угол C2A2B2 = 1/2 * ∠ACB = 1/2 * 64° = 32°

Итак, углы треугольника A2B2C2 равны: ∠A2B2C2 = 37° ∠B2A2C2 = 21° ∠C2A2B2 = 32°