Question

СРОЧНО!!!У трикутнику АВС медіани АК BL перетинаються під прямим кутом. Відомо, що АС- 2√13, ВС - √73 Знайдіть сторону АВ.

Answer 1

Відповідь: 5

Пояснення: розв'язання див. фото

Answer 2

Означення медіани в трикутнику - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Медіана ділить протилежну сторону на дві рівні частини.

Зауважте, що якщо медіани АК і ВЛ перетинаються під прямим кутом, це означає, що цей перетин є серединою гіпотенузи. Тобто трикутник ВКЛ є прямокутним, і його гіпотенуза VL - це медіана трикутника АВС.

Ми можемо використати властивість прямокутного трикутника, знаючи довжини його катетів, щоб знайти довжину гіпотенузи. В даному випадку, ми маємо два прямокутних трикутники: АКВ і ВЛК.

1. Трикутник АКВ: За теоремою Піфагора: $AV^2 = AK^2 + KV^2$ $AV^2 = AK^2 + VL^2$

2. Трикутник ВЛК: За теоремою Піфагора: $VL^2 = VK^2 + KL^2$ $VL^2 = VK^2 + BL^2$

Ми знаємо довжини сторін ВК, AK, BL і VL. Ми також можемо використовувати властивість медіани: медіана поділяє сторону в співвідношенні 2:1, тобто $AK = 2 \cdot VK$ і $BL = 2 \cdot KL$.

Підставляючи ці значення в рівняння для трикутника АКВ і ВЛК, ми можемо знайти $AV$, а потім $AV$ буде рівною стороною трикутника АВС:

1. Для трикутника АКВ: $AV^2 = AK^2 + VL^2$ $AV^2 = (2 \cdot VK)^2 + VL^2$

2. Для трикутника ВЛК: $VL^2 = VK^2 + BL^2$ $VL^2 = VK^2 + (2 \cdot KL)^2$

3. Підставте $VL^2$ з другого рівняння у перше: $AV^2 = (2 \cdot VK)^2 + VK^2 + (2 \cdot KL)^2$ $AV^2 = 4 \cdot VK^2 + VK^2 + 4 \cdot KL^2$

4. Підставте відомі значення VK і KL (враховуючи, що $VK = \frac{1}{2} \cdot AC$ і $KL = \frac{1}{2} \cdot BC$): $AV^2 = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AC\right)^2 + \left(\frac{1}{2} \cdot AC\right)^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC\right)^2$

   $AV^2 = \frac{1}{4} \cdot AC^2 + \frac{1}{4} \cdot AC^2 + \frac{1}{4} \cdot BC^2$

   $AV^2 = \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot AC^2 + BC^2)$

5. Підставте відомі значення AC і BC: $AV^2 = \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot (2\sqrt{13})^2 + (\sqrt{73})^2)$