Question

У трикутнику АВС медіани АК BL перетинаються під прямим кутом. Відомо, що АС- 2√13, ВС - √73 Знайдіть сторону АВ.

Answer 1

Пусть медианы АК = 3х, BL = 3у, Е - точка их пересечения.

Отрезки АЕ = 2х, ЕК = х,

              ВЕ = 2у, ЕL = у.

Из прямоугольных треугольников ВЕК и АЕL составим систему уравнений:

x² + 4y² = 73/4,(x4)     4x² + 16y² = 73,  

y² + 4x² = 13.              4x² + y² =13,

                                            15y² = 60,   y² = 60/15 = 4.

x² = (73/4) - 4*4 = 9/4.

Ответ: АВ = √(4*(9/4) + 4*4) = √25 = 5.

Answer 2

Давайте позначимо точку перетину медіан як точку М. Оскільки медіани перетинаються під прямим кутом, точка М є центром внутрішнього середньої кілі для трикутника ABC. Це означає, що вектор МА є медіаною трикутника ABC, а вектор МВ є медіаною.

Ми знаємо, що медіана ділить сторону пополам. Отже, МА = 0.5 * АС і МВ = 0.5 * ВС.

За вказаними даними: АС = 2√13 ВС = √73

Тоді: МА = 0.5 * 2√13 = √13 МВ = 0.5 * √73 = 0.5√73

За застосуванням теореми Піфагора в прямокутному трикутнику АМВ, маємо: АВ² = МА² + МВ²

Підставляючи значення МА та МВ: АВ² = (√13)² + (0.5√73)² АВ² = 13 + 0.25 * 73 АВ² = 13 + 18.25 АВ² = 31.25

Знаючи це, ми можемо знайти сторону АВ: АВ = √31.25 АВ = 5.59

Таким чином, сторона АВ трикутника АВС приблизно дорівнює 5.59 одиниць.