Question

У трикутнику медіана проведена до сторони утворює з нею кут 120°. дві інші сторони дорівнюють 14 і 2✓19. знайдіть сторону. пожааалуйста​

Answer 1

Против большего угла лежит большая сторона. Обозначим $AB=2\sqrt{19},~ BC=14.$ Поскольку $BM$ — медиана, то $AM=MC=\dfrac{AC}{2}$. Достроим до параллелограмма $ABCD$. Воспользуемся свойством: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$2(AB^2+BC^2)=BD^2+AC^2$

$BD^2+AC^2=2\cdot \Big((2\sqrt{19})^2+14^2\Big)=544$

По теореме Косинусов из треугольника $BMC$ :

$BC^2=MB^2+MC^2-2MB\cdot MC\cdot \cos 120^\circ \\ \\ 14^2=\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2-2\cdot \dfrac{BD}{2}\cdot \dfrac{AC}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\\ \\ 14^2\cdot 4=BD^2+AC^2+BD\cdot AC$

$14^2\cdot 4=544+BD\cdot AC\\ \\ BD\cdot AC=240~~\Rightarrow~~ BD=\dfrac{240}{AC}$

Далее подставляем BD в то выражение, где было использовано свойство, мы имеем:

$\left(\dfrac{240}{AC}\right)^2+AC^2=544\\ \\ \dfrac{240^2}{AC^2}+AC^2-544=0$

Пусть $AC^2=t$ при этом $t>0$, получим

$\dfrac{240^2}{t}+t-544=0~~~\Big|\cdot t\ne 0\\ \\ t^2-544t+240^2=0\\ \\ D=(-544)^2-4\cdot 1\cdot 240^2=65536;~~\sqrt{D}=256$

$t_1=\dfrac{544-256}{2\cdot 1}=144;~~~~~~~~~ t_2=\dfrac{544+256}{2\cdot 1}=400$

Теперь выполним обратную замену

$AC^2=144~~~\Rightarrow~~~ AC=12\\ \\ AC^2=400~~~\Rightarrow~~~ AC=20$

Ответ: 12 или 20.

Answer 2

Позначимо сторону трикутника, до якої проведена медіана, через "a". Тоді дві інші сторони, які дорівнюють 14 і $2\sqrt{19}$, позначимо через "b" і "c" відповідно.

За умовою, медіана ділить сторону "a" таким чином, що вона утворює з нею кут 120°. Це означає, що медіана ділить сторону "a" у співвідношенні 2:1 (оскільки кут 120° є кутом між медіаною і стороною трикутника). Тобто, довжина відрізка медіани дорівнює $2x$, де "x" - довжина відрізка, на який поділена сторона "a" медіаною.

За теоремою медіан трикутника, медіана поділяє сторону "a" на дві частини, які співвідносяться 2:1, тобто:

$x : 2x = b : c$

Звідси отримуємо:

$x = \frac{b}{3}$ $2x = \frac{2b}{3}$

За теоремою Піфагора для трикутника, медіана також є медіаною правильного трикутника, утвореного стороною "a" і двіма відрізками медіани. Отже, можемо записати:

$a^2 = \left(\frac{2b}{3}\right)^2 + \left(\frac{b}{3}\right)^2$

$a^2 = \frac{4b^2}{9} + \frac{b^2}{9} = \frac{5b^2}{9}$

Також нам дані довжини сторін "b" і "c":

$b = 14$ $c = 2\sqrt{19}$

Підставимо значення "b" у вираз для "a":

$a^2 = \frac{5 \cdot 14^2}{9}$

$a^2 = \frac{980}{9}$

$a = \sqrt{\frac{980}{9}} = \frac{10\sqrt{98}}{3} = \frac{10 \cdot 7\sqrt{2}}{3} = \frac{70\sqrt{2}}{3}$

Таким чином, довжина сторони "a" дорівнює $\frac{70\sqrt{2}}{3}$.