Question

Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 45 градусов. Найдите площадь треугольника AMK.

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{S_{AMK}=\dfrac{R^2(\sqrt{3}-1)}{2}}$

Объяснение:

∠ОМА = 90° по свойству радиуса, проведенного в точку касания.

∠АМК = 45° по условию, значит ∠ОМК = 45°.

Треугольник ОМК равнобедренный (ОМ = ОК = R), ⇒

∠ОКМ = ∠ОМК = 45°, тогда ∠МОК = 90°.

КМ = R√2 (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника)

По свойству отрезков касательной и секущей (квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки):

АМ² = AL · AK

a² = b · 2b = 2b²

$b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Из треугольника АМК по теореме косинусов:

AK² = AM² + KM² - 2AM · KM · sin45°

$4b^2=a^2+2R^2-2a\cdot R\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$4\cdot \dfrac{a^2}{2}=a^2+2R^2-2aR$

$2a^2 = a^2 + 2R^2-2aR$

$a^2+2Ra-2R^2=0$

Решим уравнение относительно а:

$\dfrac{D}{4}=R^2+2R^2=3R^2$

$a=-R+R\sqrt{3}=R(\sqrt{3}-1)$   или   $a=-R-R\sqrt{3}$ не подходит по смыслу.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

$S_{AMK}=\dfrac{1}{2}AM\cdot MK\cdot sin45^\circ$

$S_{AMK}=\dfrac{1}{2}\cdot R(\sqrt{3}-1)\cdot R\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\boldsymbol{S_{AMK}=\dfrac{R^2(\sqrt{3}-1)}{2}}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами касательных и хорд окружности.

Поскольку L - середина отрезка AK, то AL = LK. Это означает, что треугольник AKL - равнобедренный треугольник.

Также известно, что угол AMK = 45 градусов. Рассмотрим треугольник AMK. У нас есть два равных угла: AMK и AKM, так как треугольник AKL равнобедренный. Это означает, что AMK = AKM = 45 градусов.

Теперь у нас есть два угла в треугольнике AMK, равных 45 градусов. Следовательно, третий угол равен 180 - 45 - 45 = 90 градусов.

Таким образом, треугольник AMK - прямоугольный треугольник. Мы знаем, что угол MKA = 90 градусов, а угол AMK = 45 градусов. Значит, угол KAM = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Теперь мы знаем все углы треугольника AMK. Это означает, что треугольник AMK - равнобедренный прямоугольный треугольник. Так как AM = MK, площадь треугольника AMK можно вычислить как половину площади прямоугольного треугольника AMK:

Площадь треугольника AMK = (1/2) * AM * MK

Но так как AM = MK (так как AMK - равнобедренный треугольник), то

Площадь треугольника AMK = (1/2) * AM * AM = (1/2) * AM^2

Теперь нам нужно найти длину отрезка AM. Так как треугольник AKL - равнобедренный, то AL = LK = R.

Теперь рассмотрим треугольник AML. Мы знаем, что угол MAL = 90 градусов (так как AM - касательная, а радиус проведенный в точке касания перпендикулярен касательной). Также у нас есть угол M = 45 градусов. Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому:

Угол ALM = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Таким образом, треугольник AML - равнобедренный прямоугольный треугольник. Из него можно найти длину отрезка AM с помощью теоремы Пифагора:

AM^2 = AL^2 + LM^2 AM^2 = R^2 + (R/2)^2 AM^2 = R^2 + R^2/4 AM^2 = 5R^2/4 AM = R√5/2

Теперь мы можем подставить это значение обратно в формулу для площади треугольника AMK:

Площадь треугольника AMK = (1/2) * (R√5/2)^2 Площадь треугольника AMK = (1/2) * (5R^2/4) Площадь треугольника AMK = 5R^2/8

Итак, площадь треугольника AMK равна 5R^2/8.