Question

Докажите что если О точка пересечения медиан треугольника ABC,то OA+OB+OC=0.

Answer 1

Отразим треугольник относительно стороны AC. Заметим, что KL является средней линией в треугольнике  BCB'. Поэтому LK равен половине диагонали параллелограмма и равен зеленой медиане. Значит, треугольник AKL составлен из медиан. Векторы в условии в 2/3 раза меньше векторов, из которых составлен треугольник AKL, поэтому их сумма тоже 0.

Answer 2

К сожалению, ваше утверждение неверно. Сумма длин векторов, проведенных от вершин треугольника к точке пересечения его медиан (центр масс), не обязательно равна нулю.

Давайте рассмотрим контрпример, чтобы проиллюстрировать это. Пусть у нас есть треугольник ABC, заданный следующими координатами вершин:

A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3).

Точка пересечения медиан (центр масс) данного треугольника находится в точке G(2, 1), и можно легко проверить, что векторы OG не равны нулю:

OG = AG + BG + CG = (2, 1) + (2, 1) + (2, 1) = (6, 3).

Следовательно, сумма длин векторов OA, OB и OC не равна нулю.

Таким образом, ваше утверждение не верно, и сумма длин векторов, проведенных от вершин треугольника к точке пересечения его медиан, в общем случае не равна нулю.