Question

Найдите область определения функции Log2 (x2+4x-45)

Answer 1

Смотри....................

Answer 2

Для определения области определения функции $\log_2(x^2 + 4x - 45)$ нужно найти значения $x$, при которых аргумент логарифма (выражение внутри логарифма) будет положительным. Внутреннее выражение логарифма не может быть отрицательным или равным нулю, так как логарифм отрицательных чисел или нуля не определен в действительных числах.

$x^2 + 4x - 45$ является квадратным трехчленом. Давайте найдем его корни, чтобы определить интервалы, на которых выражение положительно:

1. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 45 = 0$:

Используем квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где у нас $a = 1$, $b = 4$, и $c = -45$.

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 14}{2}$

Таким образом, корни равны $x = -9$ и $x = 5$.

2. Теперь рассмотрим интервалы на числовой прямой между этими корнями: $(- \infty, -9)$, $(-9, 5)$, и $(5, +\infty)$.

Подставим тестовое значение из каждого интервала в $x^2 + 4x - 45$, чтобы определить, когда оно положительно:

• При $x = -10$ (в интервале $(- \infty, -9)$): $(-10)^2 + 4(-10) - 45 = 100 - 40 - 45 = 15$
• При $x = 0$ (в интервале $(-9, 5)$): $0^2 + 4 \cdot 0 - 45 = -45$
• При $x = 6$ (в интервале $(5, +\infty)$): $6^2 + 4 \cdot 6 - 45 = 36 + 24 - 45 = 15$

Таким образом, функция $\log_2(x^2 + 4x - 45)$ будет определена на интервалах $(- \infty, -9)$ и $(5, +\infty)$, где аргумент логарифма $x^2 + 4x - 45$ положителен.