Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды построена плоскость. Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью.

Answer 1

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды построена плоскость. Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью.

Объяснение:

1) О-центр основания. SO⊥(ABC) как высота правильной пирамиды . Проведем через MN плоскость параллельную основанию , квадрату АВСD. Пусть РК⊥MN  .Через К проведем КН ║SO.  Через H проведем М₁N₁║MN  . В сечении- равнобедренная трапеция  МNN₁М₁ .

2) Р=MN+М₁N₁+2*NN₁.

ΔАВS ,  МN -средняя линия , значит  MN=1/2*AB , МN=1/2*4=2.

МN -средняя линия , а значит МN║АВ , и  М₁N₁║АВ по построению  ⇒  М₁N₁=4.

Проведем в трапеции высоту  EN .Высота EN=1/2 *SO ( по т. Фалеса).

SO=√(AS²-AO²).

                 ΔABC , AO=1/2*AC=1/2√(4²+4²)=2√2.

SO=√(AS²-AO²)=√(6²-8)=√28=2√7 ⇒EN=√7.

В равнобедренной трапеции отрезок   ЕN₁=(4-2):2=1 .

Найдем NN₁ из ΔNN₁Е по т. Пифагора :

NN₁=√(EN²+EN₁²)=√(1+7)=2√2.

Р=MN+М₁N₁+2 NN₁=6+4√2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства параллелограмма и треугольника. Плоскость, проведенная через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды, будет пересекать боковые грани пирамиды в параллелограммах.

1. Найдем точку пересечения диагоналей параллелограмма, образованного сторонами SN и BM. Поскольку M и N - середины соответствующих рёбер, вектор MN будет равен половине вектора SB (так как M - середина SA) и половине вектора SA (так как N - середина SB). Таким образом, вектор MN = (3, 0, 0), так как длина вектора SA равна 6, а длина вектора SB равна 4.

2. Поскольку MN перпендикулярно плоскости ABCD, она будет пересекать боковую грань SAB в параллелограмме MNCB.

3. Сторона NC параллелограмма MNCB будет равна длине вектора MN, то есть 3.

4. Сторона MC параллелограмма MNCB будет равна длине вектора BC (поскольку они параллельны и равны).

5. Вектор BC = BA + AC = (4, 0, 0) + (0, 4, 0) = (4, 4, 0), а его длина равна √(4^2 + 4^2) = 4√2.

Теперь у нас есть стороны NC и MC параллелограмма MNCB. Они образуют прямоугольный треугольник NMC. Длина гипотенузы треугольника NMC будет равна длине вектора MC, то есть 4√2, а стороны треугольника равны 3 и 4√2.

Итак, периметр треугольника NMC будет равен 3 + 4√2 + 4√2 = 3 + 8√2.

Ответ: Периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью, равен 3 + 8√2.