Question

Бісектриси тупих кутів при меншій основі трапеції перетинаються на іншій її основі. Знайти сторони трапеції, якщо її висота 12, а довжини бісектрис 15 і 13.​

Answer 1

Ответ:

BC=14; AB=16,9; CD=12,5; AD=29,4

Объяснение:

Answer 2

Позначимо дані умовою величини таким чином:

• Висота трапеції: $h = 12$
• Довжина першої бісектриси: $b_1 = 15$
• Довжина другої бісектриси: $b_2 = 13$

Позначимо довжину меншої основи трапеції як $a$, а довжину більшої основи як $b$. Також позначимо середину більшої основи як точку $M$, де перетинаються бісектриси тупих кутів.

Знаючи, що бісектриси тупих кутів трапеції перетинаються на іншій її основі, ми можемо застосувати властивість: відстань від точки перетину бісектрис до кожної з основ дорівнює половині суми довжин основи:

$$\frac{a+b}{2} = 12 \quad \text{(1)}$$

Також ми знаємо, що бісектриса ділить відповідний кут трапеції на два рівні кути. З цього випливає, що відрізок між точкою перетину бісектрис і більшою основою є серединою бісектриси та відповідною стороною трапеції. Застосовуючи теорему Вієта до трикутника, утвореного більшою основою трапеції, бісектрисою і відповідною стороною, ми отримаємо:

$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{b}{a+b}$$

Підставляючи дані:

$$\frac{15}{13} = \frac{b}{a+b} \quad \text{(2)}$$

Маємо систему двох рівнянь (1) і (2), яку можна вирішити для знаходження $a$ та $b$. Виразимо $a$ з рівняння (2) і підставимо в рівняння (1):

$$\frac{15}{13} = \frac{b}{a+b} \implies a + b = \frac{13b}{15} \implies a = \frac{13b}{15} - b$$

Підставляючи це значення $a$ у рівняння (1):

$$\frac{13b}{15} - b + b = 12 \implies \frac{13b}{15} = 12 \implies b = \frac{15 \cdot 12}{13} = \frac{180}{13}$$

Тепер можемо знайти $a$ з попереднього рівняння:

$$a = \frac{13b}{15} - b = \frac{13}{15} \cdot \frac{180}{13} - \frac{180}{13} = 12 - \frac{180}{15} = 0$$

Отже, ми отримали $a = 0$ та $b = \frac{180}{13}$.

Відповідно, сторони трапеції дорівнюють $a = 0$ (що є неможливим) і $b = \frac{180}{13}$.