Question

Дана окружность радиуса 2√3 с центром в точке О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причём угол CDA=120 градусов. Известно, что OD=3. а) Докажите, что расстояние от точки О до хорды АВ равно 3√3/2. б) Найдите радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС.

Answer 1

a)  Расстояние измеряется длиной перпендикуляра.

ODA =180-ADC =60

OE =OD*sin(ODA) =3√3/2  

б) F, G - точки касания.  

Центр O1 искомой окружности лежит на биссектрисе угла ADC.

O1DC =ADC/2 =60

DF =O1F/tg(O1DC) =r/√3

OF =OD+DF =3 +r/√3

Точка касания G лежит на линии центров.

OO1 =OG-O1G =2√3 -r

Теорема Пифагора, △OO1F

OO1^2 =O1F^2 +OF^2

(2√3 -r)^2 =r^2 +(3 +r/√3)^2

r^2 +18√3*r -9 =0

r =6√7 -9√3

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно и решим задачи поочередно.

а) Докажем, что расстояние от точки O до хорды AB равно 3√3/2.

Для начала, построим вертикальный отрезок OE, где E - середина хорды AB.

Поскольку угол CDA = 120°, а радиус OD = 3, то угол ODA также равен 120° (в треугольнике ODA сумма углов равна 180°).

Заметим, что треугольник AOE является равносторонним треугольником, так как OA = OE (радиус окружности) и угол OAE = 60° (половина угла ODA).

Таким образом, треугольник AOE равносторонний, и его стороны равны друг другу: AO = OE = AB/2.

Мы знаем, что AB = 2√3 (диаметр окружности), следовательно, AO = OE = √3.

Теперь рассмотрим треугольник ODE. У него две известные стороны: OD = 3 и OE = √3. Мы можем найти третью сторону DE, используя теорему Пифагора:

DE^2 = OD^2 - OE^2 DE^2 = 3^2 - (√3)^2 DE^2 = 9 - 3 DE^2 = 6 DE = √6

Таким образом, мы нашли расстояние от точки O до хорды AB, которое равно DE = √6.

Теперь нам нужно выразить это расстояние через известные значения и упростить:

DE = √6 = √(2 * 3) = √2 * √3 = √3 * √2 = √3√2 = 3√2/√2 = 3√2.

Следовательно, расстояние от точки O до хорды AB равно 3√2.

б) Найдем радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги AC.

Поскольку угол CDA = 120°, то угол CAD (центральный угол) равен половине этого значения, то есть 60°.

Рассмотрим треугольник ACD. Он равнобедренный, так как угол CAD = 60°, и угол ADC = 120°. Следовательно, угол ACD = (180° - 120°) / 2 = 30°.

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда, используя тригонометрический радиус, мы можем записать:

tan(ACD) = AC / r, tan(30°) = √3 / r, 1 / √3 = √3 / r, r = 3.

Таким образом, радиус вписанной окружности, касающейся дуги AC и вписанной в угол ADC, равен 3.