Question

ПОМОГИТЕ разность между образующей конуса и его высотой равна 4см а угол между ними равен 60.Вычислите обьем конуса

Answer 1

Ответ:

128π (см³)

Объяснение:

Нехай висота конуса дорівнює х, тоді твірна дорівнює х+4 кут між ними 60°

cos60°=x/(x+4)=1/2

x+4=2x

x=4

отже висота дорінює h=х=4 і твірна І=х+4=4+4=8

за т. Піфагора

R²=l²-h² =64-16=48

тепер знайдемо об'єм конуса

V=(2πR²H)/3=(2*48*4*π)/3=128π(см)³

Answer 2

Давайте обозначим образующую конуса как $l$, высоту как $h$, радиус основания как $r$, а угол между образующей и высотой как $\theta$.

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1. Разность между образующей и высотой: $l - h = 4$ см.
2. Угол между образующей и высотой: $\theta = 60^\circ$.

Мы знаем, что образующая, высота и радиус основания связаны следующим образом: $l^2 = h^2 + r^2.$

Также, используя геометрические свойства конуса, мы можем записать: $\tan(\theta) = \frac{r}{h}.$

Поскольку $\theta = 60^\circ$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, и у нас есть соотношение: $\sqrt{3} = \frac{r}{h}.$ Из этого выражения мы можем выразить радиус $r$ через высоту $h$: $r = h \cdot \sqrt{3}.$

Подставим это выражение для радиуса в уравнение $l^2 = h^2 + r^2$: $l^2 = h^2 + (h \cdot \sqrt{3})^2.$ $l^2 = h^2 + 3h^2.$ $l^2 = 4h^2.$

Теперь мы можем выразить высоту через образующую: $h^2 = \frac{l^2}{4}.$

Из данной формулы, зная, что $l - h = 4$, мы можем выразить образующую $l$ через высоту $h$: $l^2 = (l - h)^2 + 4h^2.$ $l^2 = l^2 - 2lh + h^2 + 4h^2.$ $0 = - 2lh + 5h^2.$ $2lh = 5h^2.$ $l = \frac{5h}{2}.$

Теперь, когда у нас есть связь между образующей и высотой, мы можем выразить объем конуса через радиус основания и высоту: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$ $V = \frac{1}{3} \pi (h \cdot \sqrt{3})^2 h.$ $V = \frac{\pi}{3} \cdot 3h^3.$ $V = \pi h^3.$

Теперь, используя $h^2 = \frac{l^2}{4}$, мы можем выразить $h$ через $l$: $h = \frac{l}{2}.$

Подставляем это значение в формулу для объема: $V = \pi \left(\frac{l}{2}\right)^3.$ $V = \frac{\pi}{8} l^3.$