Question

Основания трапеции равны 4 и 13, а ее диагонали равны 8 и 15. Найдите угол между диагоналями этой трапеции. В ответе укажите величину угла в градусах.

Answer 1

Ответ: 90°, решение на листике, расписал как мог)

Answer 2

Ответ:

..........................................

Answer 3

Для нахождения угла между диагоналями трапеции можно воспользоваться тригонометрической формулой для косинуса угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}}$,

где $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ - это векторы, соответствующие диагоналям трапеции, $\|\mathbf{a}\|$ и $\|\mathbf{b}\|$ - их длины, а $\theta$ - искомый угол между диагоналями.

В данном случае, длины диагоналей равны 8 и 15:

$\|\mathbf{a}\| = 8$, $\|\mathbf{b}\| = 15$.

Также, трапеция имеет две диагонали. Давайте обозначим их как $\mathbf{d_1}$ и $\mathbf{d_2}$, и найдем их векторные представления:

$\mathbf{d_1} = (4, 8)$, $\mathbf{d_2} = (13, -15)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\mathbf{d_1}$ и $\mathbf{d_2}$:

$\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (4 \cdot 13) + (8 \cdot -15) = 52 - 120 = -68$.

Подставим все значения в формулу:

$\cos(\theta) = \frac{{-68}}{{8 \cdot 15}} = -\frac{{17}}{{30}}.$

Теперь найдем угол $\theta$ используя арккосинус:

$\theta = \arccos\left(-\frac{{17}}{{30}}\right).$

Вычислив это значение, получаем $\theta \approx 106.87^\circ$.

Таким образом, угол между диагоналями трапеции примерно равен $106.87$ градусов.