Question

Точка M- середина середина сторони BC трикутника ABC. З вершини C проведено перпиндикуляр CL на пряму AM (L лежить між A і M).На відрізку AM відмічена точка K так, що AK=2LM.Доведіть що кут BKM= куту CAM​

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доведення вказаної рівності кутів, давайте розглянемо дану ситуацію і використаємо геометричні властивості.

Позначимо точку середини сторони BC як D (замість M) і позначимо також точку перетину перпендикуляра CL з прямою AM як E.

За умовою маємо: AK = 2LM.

Позначимо довжину LM як x. Тоді довжина AK буде 2x.

Також, оскільки M - середина сторони BC, то BM = MC.

Розглянемо трикутники AKE та CLE:

1. З трикутника AKE: AK^2 = AE^2 + EK^2, (2x)^2 = AE^2 + x^2, 4x^2 = AE^2 + x^2, 3x^2 = AE^2.

2. З трикутника CLE: CL^2 = CE^2 + EL^2, CL^2 = (CM + ME)^2 + x^2, CL^2 = (BM + ME)^2 + x^2 (оскільки BM = MC), CL^2 = (x + ME)^2 + x^2, CL^2 = x^2 + 2xME + ME^2 + x^2, CL^2 = 2x^2 + 2xME + ME^2.

Оскільки CL^2 = 2x^2 + 2xME + ME^2 і AE^2 = 3x^2, то ми можемо прийти до висновку, що: CL^2 = AE^2 + x^2, 2x^2 + 2xME + ME^2 = 3x^2 + x^2, 2xME + ME^2 = x^2.

Звертаємо увагу, що вираз 2xME + ME^2 можна розглядати як квадратичний трьохчлен відносно ME. Тому за умови 2xME + ME^2 = x^2 маємо один з двох варіантів:

1. ME = x (але це неможливо, оскільки точка E не може бути такою самою, як і точка M).
2. ME = 0, що означає, що точка E співпадає з точкою L.

Отже, ми приходимо до висновку, що E = L.

Тепер ми маємо трикутник AKE, в якому AE = 2x (з трикутника AKE) і EK = x (з трикутника CLE). Звідси можна сказати, що він пропорційний трикутнику CAM, а саме, AE/KM = 2.

Таким чином, ми маємо співвідношення між трикутниками AKE та CAM, що означає, що кут BKM дорівнює куту CAM, оскільки вони відповідають однаковим відношенням сторін.