Question

В четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС. Оказалось, что угол АСВ тупой и AB=CD. Докажите, что угол ADC острый.​

Answer 1

Доказательство:

В треугольнике может быть только один тупой угол, значит все остальные - острые.

Т.е. ∠ABC < ∠ACB

Против большего угла лежит большая сторона, поэтому AC < AB

Проведем окружность с центром в точке С и радиусом r равным AB. Тогда Точка D должна лежать на окружности т.к. CD=AB=r.

Т.к. AC < AB то AC < r т.е. точка A лежит внутри окружности.

Обозначим пересечение прямой AC с окружностью точкой F (да, их две, но рассматривать будем ту, которая находится со стороны точки A)

∠FDC = ∠FDA + ∠ADC

Значит ∠ADC = ∠FDC - ∠FDA т.е. ∠ADC < ∠FDC (если ∠FDA = 0, то F и A совпадают, что невозможно т.к. А лежит внутри окружности)

Рассмотрим ∠FDC - он опирается на красную дугу (см рисунок) и проходит через центр окружности.

Его максимальное значение будет 90° (предельное) (очень близкое к нему представлено на рисунке 2)

Предельное оно потому, что если оно равно 90°, то точки D A C лежат на одной прямой, а в этом случае ABCD - не четырехугольник.

Т.е. ∠ADC < ∠FDC < 90° Значит ∠ADC < 90° Т.е. ∠ADC - острый. Доказано.

============  

Не забывайте нажать "Спасибо", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"

Успехов в учебе

Answer 2

Угол ACB тупой, следовательно наибольший в треугольнике ABC.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны - больший угол.

ACB>ABC => AB>AC => CD>AC => CAD>ADC

Угол ADC не наибольший в треугольнике ADC, следовательно острый.

Answer 3

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно и воспользуемся геометрическими свойствами.

По условию, у нас есть четырехугольник ABCD, где AB = CD и угол ACB тупой (больше 90 градусов). Также проведена диагональ AC.

Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два случая:

1. Если угол ACB прямой (равен 90 градусов), то четырехугольник ABCD является прямоугольником, и утверждение о том, что угол ADC острый, не верно. Однако данное утверждение может быть неверным только при том условии, что угол ACB является тупым. Поэтому мы сфокусируемся на этом случае.

2. Угол ACB тупой (больше 90 градусов). Рассмотрим угол ACD (это угол между диагональю AC и стороной CD). Так как угол ACB тупой, угол ACD острый (сумма углов в треугольнике ACD равна 180 градусов, и большей частью этой суммы будет угол ACD).

С учетом того, что у нас есть четырехугольник ABCD, в котором угол ACD острый (второй случай), и при этом AB = CD, мы можем рассмотреть угол ADC (угол между сторонами CD и AD). Так как сторона AD равна стороне CD (AB = CD), а угол ACD острый, то угол ADC также будет острым. Это связано с тем, что острый угол ACD "заставляет" сторону AD отклоняться от стороны CD, формируя острый угол ADC.

Таким образом, мы доказали, что если в четырехугольнике ABCD угол ACB тупой и AB = CD, то угол ADC обязательно острый.