Question

Задание 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b. Угол при основании равен α. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. Указание: решить задачу можно, используя формулы для площади треугольника.

Answer 1

1)

S=r*p, где р - полупериметр. р=(2b+a)/2=b+a/2; a/2 - половина основания.

2)

Рассм. прямоугольный треугольник с гипотенузой b; высотой(катетом) h и вторым катетом а/2.

sinα=h/b; ⇒ h=b*sinα

cosα=(a/2) / b; ⇒  a/2=b*cosα

S=1/2 * h * a=1/2 * b*sinα * 2bcosα=1/2 * b² * 2sinα*cosα=b²sin2α/2

3)

r=S/p=(b²sinα*cosα)/(b+b*cosα)=b*sinα*cosα/(1+cosα).

ИЛИ

r=b*2sinαcosα/(2(1+cosα)=(1/2)*bsin2α/(1+cosα).

Answer 2

Чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем площадь треугольника через боковую сторону b и угол α при основании:

   Площадь треугольника S = (1/2) * b * a * sin(α), где "a" - длина основания треугольника, а "α" - угол при основании.

2. Зная площадь треугольника S, длину основания "a" и боковую сторону "b", мы можем найти высоту "h" (проведенную к основанию):

   S = (1/2) * b * a * sin(α) h = b * sin(α)

3. Теперь мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности "r" через площадь треугольника и полупериметр "p" (сумма длин всех сторон, деленная на 2):

   S = p * r r = S / p

4. Полупериметр "p" можно выразить через длину основания "a", боковую сторону "b" и высоту "h":

   p = (a + b + b) / 2 p = (a + 2b) / 2 p = (a + b)

Итак, мы можем подставить все вместе и получить выражение для радиуса вписанной окружности "r":

r = S / p r = ((1/2) * b * a * sin(α)) / (a + b)

r = (b * sin(α)) / (2 + 1)

r = (b * sin(α)) / 3

Итак, радиус вписанной окружности треугольника равен r = (b * sin(α)) / 3.