Question

докажите, что для любого треугольника ABC выполняется следующие утверждение: биссектрисы углов B и C образуют угол равный 1/3 (угла A) + 90°

Answer 1

Пусть угол В , равный α биссектрисой ВВ₁ делится на два равных α/2 и α/2, биссектриса СС₁ угла С делит угол С на два равных β/2 и β/2, тогда третий угол, между биссектрисами ВВ₁ и СС₁ в треугольнике ВОС, где О- точка пересечения указанных биссектрис, равен 180-(α/2+β/2), в то время, как угол А равен 180°-α-β; 0.5угла А равно 90-α-β, если к этой величине добавить 90°, то мы получим угол между биссектрисами. Доказано.

Answer 2

Искомый угол BIC сопряжен внутреннему углу невыпуклого четырехугольника ABIC и равен сумме его внутренних углов при других вершинах.

BIC =A +B/2 +C/2

Сумма половин углов A, B, C равна 90.

BIC =90 +A/2

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся следующими фактами:

1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на две части пропорционально смежным сторонам.
2. Сумма углов треугольника равна 180°.

Пусть BI и CI - биссектрисы углов B и C соответственно. Пусть угол A равен α.

Так как BI - биссектриса угла B, то отношение длин отрезков AC и AB равно отношению длин отрезков CI и IB:

AC / AB = CI / IB ...............(1)

Аналогично, так как CI - биссектриса угла C, отношение длин отрезков AB и BC равно отношению длин отрезков BI и IC:

AB / BC = BI / IC ...............(2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

(AC / AB) / (AB / BC) = (CI / IB) / (BI / IC)

Упростим:

(AC / AB) * (BC / AB) = (CI / BI) * (IC / IB)

AC * BC / AB^2 = CI * IC / BI^2

Поскольку угол A равен α, угол B равен β, а угол C равен γ, то:

AC = 2 * AB * sin(γ/2) BC = 2 * AB * sin(β/2) CI = 2 * IB * sin(γ/2) IC = 2 * IB * sin(β/2)

Подставим эти выражения в уравнение:

(2 * AB * sin(γ/2) * 2 * AB * sin(β/2)) / AB^2 = (2 * IB * sin(γ/2) * 2 * IB * sin(β/2)) / BI^2

Упростим:

4 * sin(γ/2) * sin(β/2) = 4 * sin(γ/2) * sin(β/2)

Это уравнение верно, что доказывает исходное утверждение:

биссектрисы углов B и C образуют угол, равный 1/3 (угла A) + 90°.