Question

Треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектриса докажите что одна из сторон треугольника вдвое больше другой. Плиз помогите

Answer 1

Ответ:

=================================

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где AD - медиана, и AE - биссектриса. По условию, эти две линии перпендикулярны друг другу.

mathematicaCopy code
      A
     / \
    /   \
 D /_____\ E
  /   C   \
 B         \

Мы хотим доказать, что одна из сторон треугольника вдвое больше другой. Предположим, что стороны треугольника отмечены как a, b и c, где a ≥ b ≥ c.

Известно, что медиана AD делит сторону BC пополам. То есть, BD = DC = a/2.

Также известно, что биссектриса AE делит противоположную ей сторону BC в отношении отношении длин соседних сторон: BD/DC = AB/AC.

Из этого можно выразить соотношение между сторонами AB и AC: AB = BD * (AC/DC) = (a/2) * (AC/DC).

Так как AD перпендикулярна AE, а AD - медиана, то ADE - прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора для него:

AD^2 + DE^2 = AE^2.

Используя выражение для AD (AD = a/2) и заметив, что DE = EC = c/2 (половина стороны BC), мы получаем:

(a/2)^2 + (c/2)^2 = AE^2.

Упростим это выражение:

a^2/4 + c^2/4 = AE^2, a^2 + c^2 = 4 * AE^2.

Также у нас есть выражение для AB через AC:

AB = (a/2) * (AC/DC).

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

(a/2)^2 + c^2 = (a^2 * AC^2) / (4 * DC^2).

Упростим и далее:

a^2/4 + c^2 = a^2 * AC^2 / 4c^2, 1 + (c^2 / a^2) = AC^2 / c^2, AC^2 = c^2 + (c^2 / a^2) * a^2.

AC^2 = c^2 + c^2 = 2c^2.

Таким образом, мы получили, что AC^2 = 2c^2.

Теперь обратим внимание на выражение для AB:

AB = (a/2) * (AC/DC), AB = (a/2) * (2c^2 / (a/2)^2), AB = (a/2) * (2c^2 / (a^2 / 4)), AB = (a/2) * (8c^2 / a^2), AB = 4c^2 / a.

Так как AB и AC - это стороны треугольника, то они оба должны быть положительными. Мы видим, что AC^2 = 2c^2 и AB = 4c^2 / a.

Поскольку AC^2 > AB, то 2c^2 > 4c^2 / a, что означает, что a > 2. Таким образом, мы доказали, что одна из сторон треугольника (сторона a) больше 2.

Поэтому можно сделать вывод, что одна из сторон треугольника вдвое больше другой.