Question

Две окружности с радиусами 16 и 9 касаются внешне в точке Т. Первая прямая касается окружности в точках A и B, вторая прямая касается этих окружностей в точках C и D касательная проходящая через точку T пересекала отрезки AB и CD в точках P и Q. Найдите длину отрезка PQ ​

Answer 1

Ответ:

=====================================

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства касательных и секущих, а также радикальную ось окружностей.

1. Обозначим центры окружностей как O₁ и O₂, а точку их касания как T.

2. Соединим центры окружностей с точкой касания на каждой из них. Получим два треугольника: ∆ATO₁ и ∆DTO₂.

3. Радиусы окружностей образуют прямой угол с их касательными, следовательно, ∠TAO₁ и ∠TDO₂ - прямые углы.

4. Так как T - точка касания, то радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания. Значит, ∠ATP и ∠DTQ - прямые углы.

5. Рассмотрим треугольник ATP. Он прямоугольный, так как угол ∠TAP - прямой. Поэтому по теореме Пифагора:

   AT² = AP² + TP².

   Также, рассмотрим треугольник DTQ. Он также прямоугольный, так как угол ∠TDQ - прямой. Поэтому:

   DT² = DQ² + TQ².

6. Так как AT = DT (они равны радиусам окружностей), TP = TQ (они равны высотам треугольников ATP и DTQ соответственно), получаем:

   AP² + TP² = DQ² + TQ².

7. Обозначим отрезок TP (и TQ) как h. Теперь у нас есть:

   AP² + h² = DQ² + h².

   AP² = DQ².

8. Поскольку AT и DT - радиусы окружностей, а AP и DQ - отрезки, состоящие из радиуса и отрезка касательной, то AP = DT - это следует из равенства радиусов окружностей и их отрезков, составляющих касательные.

9. Получили AP = DT, и также AP² = DQ². Из этого следует, что AP = DQ.

10. Таким образом, отрезки AP и DQ равны между собой, и отрезок PQ будет равен 2 * AP (или 2 * DQ).

11. Длина AP (и DQ) может быть найдена через геометрическую конструкцию или через радикальную ось окружностей. Она равна корню квадратному разности радиусов окружностей минус расстояние между центрами окружностей:

    AP = √(R₁² - R₂²) - |O₁O₂|.

    В данном случае, R₁ = 16, R₂ = 9.

12. Найденное значение AP (и DQ) умножается на 2 для получения длины PQ.

Итак, чтобы найти длину отрезка PQ, нужно выполнить все указанные шаги и рассчитать длину по формулам.