Question

Две окружности внешне касаются в точке А, радиус первой окружности равен 4. Окружности касаются прямой L в точках В и С ( точка В лежит на первой окружности). Общая внутренняя касательная пересекает отрезок внутренняя касательная пересекает отрезок ВС в точке М, при этом АМ=6. Через точки А и В проведена прямая, пересекающая вторую окружность в точке D. Найти радиус второй окружности и длину отрезка ВD.

Answer 1

Для начала заметим, что угол OMQ=90°, так как ОВСQ - прямоугольная трапеция (ОВ||QC), значит в ней <O+<Q=180°, а ОМ и МQ - биссектрисы этих углов, тогда их половины в сумме равны 90° и <OMQ=90°). МА - высота из прямого угла и по ее свойствам МА²=ОА*АQ или 36=4*АQ. Отсюда АQ= 9. А это и есть радиус второй окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВМ. По Пифагору ОМ=√(ОВ²+ВМ²)=√(16+36)=√52.(ВМ=МА=МС - как касательные из одной точки к окружности). ВН - тоже высота из прямого угла и по ее свойствам (h=a*b/c) получим ВН=4*6/√52. ВА=2*ВН=48/√52.
Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью. то есть ВС²=BD*BA. Или BD=ВС²/BA.  ВС = ВМ+МС=12 (так как ВМ=АМ и МС=АМ - касательные из одной точки к окружности).BD = 144:ВА= 144:(48/√52) = 6√13.
Ответ: радиус второй окружности равен 9. Отрезок ВD=6√13.
P.S. Проверьте арифметику.

Answer 2

Вариант решения. 

Обозначим центр меньшей окружности буквой К, центр большей - Е.

ВК и СЕ - радиусы этих окружностей. 

Радиусы окружностей, проведенные к касательной  в точку касания, образуют с ними прямой угол.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.   ⇒

ВМ=МА.

АМ=МС на том же основании. 

Отсюда ВМ=МС=АМ=6

Следовательно, АМ - медиана треугольника ВАС.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой проведена, то этот треугольник- прямоугольный.

Треугольник ВАС = прямоугольный, и его гипотенузаВС=2АМ=12.

Проведем прямую КР параллельно  прямой L

В прямоугольнике КВСР КР=ВС=12, угол КРЕ - прямой. 

⇒ треугольник КРЕ - прямоугольный.

В нем катет КР=12, катет РЕ= R-4

Гипотенуза КЕ=r+R=4+R

По т. Пифагора выразим гипотенузу КЕ

КЕ²=КР²+РЕ²

(4+R)²=12²+(R-4)²

16+8R+R²=144+R²-8R+16

16 R=144

R=9

Так как угол ВАС=90°,  смежный с ним угол САD=90°, и тогда хорда СD, на которую он опирается, - диаметр окружности и равна 2R=18

DВ найдем из прямоугольного треугольника ВСD.

DB²=BC²+CD²

BD²=144+324

BD=6√13