Question

В треугольнике ABC биссектриса угла С пересекает сторону AB в точке М, а биссектриса угла A пересекает отрезок CM в точке Т. Оказалось что отрезки CM и AT разбили треугольник на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольник ABC

Answer 1

Ответ:

∠А = 72°;

∠В = 36°;

∠С = 72°.

Объяснение:

Дано: ΔАВС;

СМ - биссектриса ∠С;

АТ - биссектриса ∠А;

ΔМАТ; ΔАТС; ΔВМС - равнобедренные.

Найти: ∠А; ∠В; ∠С.

Решение:

Рассмотрим углы:

∠1=∠2 (АТ - биссектриса ∠А)

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

∠2 =∠3 (ΔАТС - равнобедренный)

∠3 =∠4 (СМ - биссектриса ∠С)

∠4 =∠5 (ΔМВС - равнобедренный)

⇒ ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = ∠5

Пусть ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = α

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠А + ∠В + ∠С = (∠1 + ∠2) + (∠3 + ∠4) + ∠5 = 5α = 180°

5α = 180°   |:5

α = 36°

Найдем углы треугольника:

∠А = ∠1 + ∠2 = 72°;

∠В = 36°;

∠С =∠3 +∠4 = 72°.

⇒ ∠А = 72°; ∠В = 36°; ∠С = 72°.

Answer 2

Пусть $\angle ACB = \alpha$ и $\angle BAC = \beta$.

Так как отрезок CT является биссектрисой угла C и разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника, то угол $\angle CTB$ равен половине угла $\angle ACB$, то есть $\angle CTB = \frac{\alpha}{2}$.

Также отрезок AT разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника, следовательно, угол $\angle BTA$ равен половине угла $\angle CAB$, то есть $\angle BTA = \frac{\beta}{2}$.

Так как отрезки CM и AT разбивают треугольник на три равнобедренных треугольника, то угол $\angle CMB$ также равен $\frac{\alpha}{2}$ и угол $\angle TAC$ равен $\frac{\beta}{2}$.

Теперь посмотрим на треугольник CMB. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

$\angle CMB + \angle CTB + \angle BMC = 180^\circ$

Подставляя значения углов:

$\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \angle BMC = 180^\circ$

$\alpha + \angle BMC = 180^\circ$

$\angle BMC = 180^\circ - \alpha$

Аналогично, для треугольника TAB:

$\angle TAB + \angle BTA + \angle TAC = 180^\circ$

$\frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle TAC = 180^\circ$

$\beta + \angle TAC = 180^\circ$

$\angle TAC = 180^\circ - \beta$

Теперь мы знаем углы $\angle BMC$ и $\angle TAC$, и мы можем выразить угол $\angle BAC$ через них:

$\angle BAC = \angle BMC + \angle TAC = (180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) = 360^\circ - (\alpha + \beta)$

У нас также есть сумма углов треугольника, которая равна 180°:

$\alpha + \beta + \angle BAC = 180^\circ$

$\angle BAC = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Сравнивая два выражения для $\angle BAC$, мы видим, что:

$360^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Отсюда следует, что $360^\circ = 180^\circ$, что, однако, неверно. Следовательно, данная ситуация невозможна.

Вероятно, была допущена ошибка в условии задачи или его интерпретации.