Question

В прямоугольной трапеции ABCD ( bc параллельно AD, AB перпендикулярно AD )вписана окружность центром в точке O.найдите площадь трапеции если ОС равна 6 см ОD равна 8 см

Answer 1

Ответ:

Sabcd = 67,62 cм²

Объяснение:

Боковая сторона описанной трапеции видна по углом 90° (свойство). Следовательно, треугольник СОD прямоугольный и его высота ОН, проведенная к гипотенузе CD, является радиусом вписанной окружности. Высота нашей трапеции равна двум таким радиусам. Тогда по Пифагору CD = √(OC²+OD²) = √36+64) = 10 cм.

По свойству высоты из прямого угла:

ОН = R = (OC·OD)/CD = 6·8/10 = 4,8 см.

Также по свойству этой высоты:

ОС² = СD·CH => CH = OC²/CD = 36/10 = 3,6 см.

Аналогично HD = OD²/CD = 6,4 cм.

Пусть точки М и К - точки касания вписанной окружности с основаниями трапеции ВС и AD соответственно.

Тогда ВМ = АК = R = 4,8 см.

МС = СН = 3,6 см, а KD = HD = 6,4см (как отрезки касательных из одной точки).  

ВС= ВМ+МС = 4,8+3,6 = 8,4 см.

AD = AK+KD = 4,8+6,4 = 11,2 cм.

Sabcd = (BC+AD)·MK/2 = 19,6·9,6/2 = 67,62 см²

Answer 2

Для нахождения площади трапеции ABCD, нам потребуется использовать радиус окружности, вписанной в эту трапецию. Нам известно, что радиус окружности (OB, OC, OD) является биссектрисой угла между боковой стороной (AD) и основной стороной (BC) трапеции. Также известно, что биссектриса делит основную сторону (BC) трапеции на две части в пропорции радиусов.

Мы можем использовать теорему биссектрисы, чтобы найти отношение длин отрезков BC и AD:

$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OD}$.

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{BC}{AD} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Теперь мы можем выразить длину BC через AD:

$BC = \frac{3}{4} \cdot AD$.

Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

$S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot AD$.

У нас есть дополнительная информация о том, что AB перпендикулярно AD, поэтому AB = OC = 6 см. Также нам дано, что OD = 8 см. Подставляя значения, получаем:

$S = \frac{1}{2} (6 + CD) \cdot AD$.

Теперь можем выразить CD через AD и BC:

$CD = BC - BD = BC - (AD - AB) = \frac{3}{4} \cdot AD - (AD - 6) = \frac{3}{4} \cdot AD - \frac{1}{4} \cdot AD + 6 = \frac{1}{2} \cdot AD + 6$.

Подставляя это значение обратно в формулу для площади, получаем:

$S = \frac{1}{2} (6 + \frac{1}{2} \cdot AD + 6) \cdot AD = (6 + \frac{1}{4} \cdot AD) \cdot AD$.

Теперь, когда у нас есть выражение для площади трапеции через AD, мы можем найти AD, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ODC:

$OD^2 = OC^2 + CD^2$.

Подставляя известные значения:

$8^2 = 6^2 + CD^2$, $CD^2 = 64 - 36 = 28$, $CD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике OAD:

$OA^2 = OD^2 + AD^2$, $AD^2 = OA^2 - OD^2$, $AD^2 = (OC + CD)^2 - OD^2$, $AD^2 = (6 + 2\sqrt{7})^2 - 8^2$, $AD^2 = 36 + 24\sqrt{7} + 28 - 64$, $AD^2 = 24 + 24\sqrt{7}$, $AD = \sqrt{24 + 24\sqrt{7}}$