Question

При каком значении альфа уравнение х^3+12х^2+ах+27=0 имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Answer 1

Пусть корни x₁, x₂, x₃, тогда

$(x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot (x-x_3) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные:

$(x^2 - x\cdot x_2 - x\cdot x_1 + x_1\cdot x_2)\cdot (x-x_3) = 0$

$(x^2 - x\cdot (x_1 + x_2) + x_1\cdot x_2)\cdot (x-x_3) = 0$

$x^3-x^2\cdot x_3 - x^2\cdot (x_1 + x_2) + x\cdot (x_1\cdot x_3 +$

$+ x_2\cdot x_3) + x\cdot x_1\cdot x_2 - x_1\cdot x_2\cdot x_3 = 0$

$x^3-x^2\cdot (x_1+x_2+x_3) + x\cdot (x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3 +$

$+ x_1\cdot x_2) - x_1\cdot x_2\cdot x_3 = 0$

Тогда (теорема Виета):

$-(x_1+x_2+x_3) = 12$

$x_1\cdot x_3 + x_2\cdot x_3 + x_1\cdot x_2 = a$

$-x_1\cdot x_2\cdot x_3 = 27$

Корни образуют геометрическую прогрессию, то есть

$x_2 = x_1q$

$x_3 = x_1q^2$

Тогда три уравнения т. Виета перепишутся так:

$x_1 + x_1q + x_1q^2 = -12$

$x_1(1 + q + q^2) = -12$, (1)

$x_1^2q^2 + x_1^2q^3 + x_1^2q = a$

$x_1^2( q + q^2 + q^3) = a$, (2)

$x_1^3q^3 = -27$

Из последнего уравнения извлечем кубический корень, и получим:

$x_1q = -3$

$x_1 = -\frac{3}{q}$, подставляя это в (1) и в (2), получим

$-\frac{3}{q}(1+q+q^2) = -12$

$\frac{9}{q^2}(q+q^2 + q^3) = a$

$-3\cdot (1+q+q^2) = -12q$

$\frac{9}{q}\cdot (1 + q + q^2) = a$

$3\cdot (1+q+q^2) = 12q$

$9\cdot (1+q+q^2) = aq$

разделим предпоследнее равенство на последнее:

$\frac{3}{9} = \frac{12}{a}$

$\frac{1}{3} = \frac{12}{a}$

$a = 12\cdot 3 = 36$

Ответ. 36.

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^3 + 12x^2 + ax + 27 = 0$ имело три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты образовывали прогрессию с ненулевым знаменателем. Пусть эти коэффициенты образуют геометрическую прогрессию с знаменателем $r$. Тогда у нас будет:

$12 = r$, $a = 12r$, $27 = 12r^2$.

Для нахождения значения $r$ мы можем подставить первое и третье уравнения во второе:

$a = 12r = 12 \cdot 12 = 144$, $27 = 12r^2 = 12 \cdot 12^2 = 12 \cdot 144 = 1728$.

Таким образом, значение $a = 144$ и $r = 12$ удовлетворяют условию задачи.