Question

У кубі АА1ВВ1СС1ДД1 точка М лежить на ребрі АА1, причому АМ:МА1 = 3:1, а точка N - середина ребра ВС. Знайти косинус кута між прямими: 1.MN і ДД1 2. MN і ВД 3. MN і В1Д 4. MN і А1С

Answer 1

В кубе АА1ВВ1СС1ДД1 точка М лежит на ребре АА1, причем АМ:МА1 = 3:1, а точка N - середина ребра ВС. Найти косинус угла между прямыми: 1.MN и ДД1 2. MN и ВД 3. MN и В1Д 4. MN и А1С

Объяснение:

Введем прямоугольную систему координат.Пусть ребро куба 1.

Тогда координаты точек :

М(1 ;0;0,75) , N(0,5 ;1;0) , Д(0;0;0)   ,Д₁(0;0; 1)  , В(1;1;0)  , В₁(1;1;1)  , А₁(1;0;1)  , С(0;1;0) .

Найдем координаты векторов

MN(-0,5 ;1; -0,75) , |MN|=√((-0,5)²+1²+(-0,75)²)=0,25√29 ;

ДД₁(0 ;0; 1) , |ДД₁|=√(0²+0²+1²)=1 ;

ВД (-1 ;-1; 0) , |MN|=√((-1)²+(-1)²+0 ²)=√2 ;

В₁Д (-1 ;-1; -1)  , |MN|=√3 ;

А₁С(-1 ; 1; -1)  , |MN|=√3 ;

Если а(х₁;у₁;z₁) b(х₁;у₁;z₁)  )  , то  cosα=$\frac{x_{1}*x_{2} +y_{1}*y_{2} +z_{1}*z_{2} }{|a|*|b|}$  .

1)  cos(MN ;ДД₁)=$\frac{-0,5*0+1*0-0,75*1}{0,25\sqrt{29}*1 } =-\frac{3}{\sqrt{29} }$  ,

2) cos(MN ;ВД)=$\frac{-0,5*(-1)+1*(-1)-0,75*1}{0,25\sqrt{29}*\sqrt{2} } =-\frac{-5}{\sqrt{58} }$  ,

3)cos(MN ;В₁Д)=$\frac{-0,5*(-1)+1*(-1)-0,75*(-1)}{0,25\sqrt{29}*\sqrt{3} } =\frac{9}{\sqrt{87} }$  ,

4)cos(MN ;А₁С)=$\frac{-0,5*(-1)+1*1-0,75*(-1)}{0,25\sqrt{29}*\sqrt{3} } =\frac{9}{\sqrt{87} }$  ,

Answer 2

Давайте розглянемо кожен випадок окремо:

1. Косинус кута між прямими MN і ДД1:

   Оскільки АМ:МА1 = 3:1, точка М розташована на ребрі АА1, тобто від точки А до точки М відстань в 3 рази більша, ніж від точки М до точки А1. Це означає, що точка М ближче до точки А1 ніж до точки А.

   Також дано, що точка N - середина ребра ВС. Оскільки середина, то ВН = НС.

   Таким чином, ми можемо створити вектори:

   • ВN, який веде від вершини В до точки N.
   • NM, який веде від точки N до точки M.

   Зауважте, що NM є вектором, що лежить на лінії АА1, оскільки точка М лежить на цій лінії.

   Для знаходження косинуса кута між прямими MN і ДД1 ми можемо використовувати властивості скалярного добутку векторів:

   Косинус кута між двома векторами обчислюється за формулою:

   $$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|},$$

   де $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ - скалярний добуток векторів, $\|\mathbf{A}\|$ і $\|\mathbf{B}\|$ - їхні довжини.

   Вектор ДД1 має напрямок від точки Д до точки Д1. Оскільки М лежить на лінії ДД1 і ближче до точки Д1, нам цікавить скалярний добуток вектора NM і вектора Д1Д.

   Таким чином, косинус кута між MN і ДД1 визначається формулою:

   $$\cos(\theta_1) = \frac{\mathbf{NM} \cdot \mathbf{Д1Д}}{\|\mathbf{NM}\| \|\mathbf{Д1Д}\|}.$$

2. Косинус кута між прямими MN і ВД:

   Тут ми також використовуємо скалярний добуток векторів. Вектор ВД має напрямок від вершини В до точки Д. Оскільки точка N - середина ребра ВС, вектор ВН веде від вершини В до точки Н. Тоді вектор NM веде від точки Н до точки М.

   Отже, косинус кута між MN і ВД визначається формулою:

   $$\cos(\theta_2) = \frac{\mathbf{NM} \cdot \mathbf{ВД}}{\|\mathbf{NM}\| \|\mathbf{ВД}\|}.$$

3. Косинус кута між прямими MN і В1Д:

   Вектор В1Д має напрямок від вершини В1 до точки Д. Оскільки точка N - середина ребра ВС і В1С паралельне ВС, вектор В1Н веде від вершини В1 до точки Н. Вектор NM, як і раніше, веде від точки Н до точки М.

   Тоді косинус кута між MN і В1Д визначається формулою:

   $$\cos(\theta_3) = \frac{\mathbf{NM} \cdot \mathbf{В1Д}}{\|\mathbf{NM}\| \|\mathbf{В1Д}\|}.$$

4. Косинус кута між прямими MN і А1С:

   Вектор А1С має напрямок від вершини А1 до точки С. Вектор АМ веде від вершини А до точки М, і вектор NM веде від точки Н до точки М, як і раніше.

   Тоді косинус кута між MN і А1С визначається формулою:

   $$\cos(\theta_4) = \frac{\mathbf{NM} \cdot \mathbf{А1С}}{\|\mathbf{NM}\| \|\mathbf{А1С}\|}.$$

Зауважте, що для обчислення всіх цих значень потрібно знати координати точок А, А1, В, С, Д, Д1, Н, М і В1. Якщо вони надані, ви можете підставити їх координати в відповідні формули для обчислення косинусів кутів.